Koordinaten auf der Kugel

Wissenschaft Physik
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Hallo, Gemeinde.

Ich breche mir gerade mehrere Verzierungen beim Versuch ab, aus der Angabe zweier Längen/Breitengradpaare die Entfernung zwischen zwei Orten zu bestimmen.

Bisher habe ich mir folgendes aus den Rippen geschwitzt :

  • Der Abstand der Breitengrade ist konstant 111,111 … km.
  • Der Abstand der Längengrade am Äquator dito und nimmt mit der Annäherung an die Pole ab.
  • Demzufolge sollte der Abstand der Längengrade auf 45° Breite eigentlich sin(45°)*111,111… sein (???) zwofelhaft
  • Wenn es nicht über allzugroße Entfernungen geht, sollte der alte Onkel Pythagoras mir mit WURZEL(Breitendifferenz²+Längendifferenz²) einen halbwegs brauchbaren Näherungswert liefern können. Er hustet mir aber was (Berlin-Bonn 211 km???).

Zwei große Fragen; erstens : was ist falsch am obigen Lösungsweg (außer, dass es ungenau wird)? Zweitens, wie funktioniert das Ganze richtig - meine Kenntnisse in sphärischer Trigonometrie tendieren auf das Heftigste gegen Null …

Seiet herzlich im Voraus bedankt von einem abgebrochenen Baumschüler.

Gruß kw

2

Hallo Okinaptz, oder Uglwf ?..

Über sphärische Geometrie findest du bei Google einiges.

Aus der Navigation ist das Problem ja bekannt, anhand der Längen- und Breitengrade zweier Punkte die Entfernung zu berechnen.

Die Formel ist

d = 6367 km * arccos( sin(B1)*sin(B2) + cos(B1)*cos(B2)*cos(L2-L1) )

wobei B1/L1 der Breiten- bzw. Längengrad des ersten Punktes und B2/L2 die des zweiten Punktes sind. 6367 km ist der Erdradius.

Wie sich das herleitet kann dir vielleicht jemand antworten, der sich damit auskennt…

Dein Pythagoras auf der Oberfläche sollte eigentlich funktionieren, näherungsweise, versteht sich. Hast du mal die Koordinaten?

Gruß
Jochen

3

Hallo kw,

aus der Angabe zweier Längen/Breitengradpaare die Entfernung
zwischen zwei Orten zu bestimmen.

für den Winkel phi, den zwei beliebige Orte mit den Breiten b1 und b2 und den Längen l1 und l2 gegenüber dem Erdmittelpunkt einschließen, gilt:

cos phi = cos(l1 – l2) cos(b1) cos(b2) + sin(b1) sin(b2)

Das folgt unmittelbar aus dem Skalarprodukt in Kugelkoordinaten.

Die Entfernung d der Orte beträgt:

d = R phi

wobei R der Erdradius ist (ungefähr R = 6730 km). Mit dieser Entfernung ist die Länge des Weges auf der Oberfläche gemeint.

Die kürzeste Verbindungslinie zwischen den beiden Orten „durch den Kugelkörper hindurch“ hat die Länge

l = 2 R sin(phi/2)

Mit freundlichem Gruß
Martin

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Hallo Martin,

klingt gut, hast du vielleicht auch die Gleichung für die Kursberechnung? Ich meine, wenn Norden bei 0 grad liegt, in welche Richtung (in grad) man sich bewegen muss, um auf kürzestem Weg von Punkt 1 nach Punkt 2 zu kommen.

Gruß
Pat

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

5

Danke schøøøn!
Ein unkundiger Frager aus Kassel
kam in einen großen Schlamassel.
Bei wer-weiß-was er frog, auaa!
und die Antworten flog-
en ihm zu. Und ganz ohne Gequassel!

Dieses Forum ist die beste Einrichtung seit der Erfindung der Doppelschnitte.

Besten Dank.
Gruß kw

6

Hallo Pat,

…Gleichung für die
Kursberechnung? Ich meine, wenn Norden bei 0 grad liegt, in
welche Richtung (in grad) man sich bewegen muss, um auf
kürzestem Weg von Punkt 1 nach Punkt 2 zu kommen.

der Anfangs-Kurswinkel rho ist gegeben durch

 sin(l2 - l1) 
tan(rho) = ---------------------------------------- 
 tan(b2) cos(b1) - sin(b1) cos(l2 - l1)

Möchtest Du den Zielpunkt dadurch erreichen, indem Du Dich in östliche Richtung aufmachst, und Du erhälst für rho nach obiger Formel einen negativen Wert, dann mußt Du noch 180° dazu addieren. Bei positivem rho ist keine Korrektur nötig.

Möchtest Du den Zielpunkt dadurch erreichen, indem Du Dich in westliche Richtung aufmachst, und Du erhälst für rho nach obiger Formel einen negativen Wert, dann mußt Du noch 360° dazu addieren. Bei positivem rho mußt Du noch 180° dazu addieren.

Mit freundlichem Gruß
Martin

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