Kopfrechnen

Anonym · 4. November 2003 um 20:13

Hallo zusammen,
ich bin begeisteter Kopfrechner und würde gerne mal wissen
welche Methoden es zum schnellen berechnen von Wurzeln,Logarithmen
etc. gibt.Ich habe auch schon etwas von der sogenannten Trachtenberg-
Methode gehört,aber kann mir nichts konkretes zum Berechnen von höheren (mehrstelligen) Zahlen darunter vorstellen.
Vielleicht weiss ja jemand von euch etwas?!
Ciao Chris

el_schugaira · 4. November 2003 um 21:06

Hallo!
Oh je, wie war das nochmal…
Wenn ich mich richtig erinnere, gehen Wurzeln so:
Sei x die Zahl von der du die Wurzel wissen willst.Benachbarte Quadratzahlen suchen, aus deren Wurzeln den Durchschnitt errechnen, den quadrieren(a kommt raus), gucken ob a größer oder kleiner als x ist, dann nimmst du a und die eine Quadratzahl die näher dran ist, Durchschnitt ausrechnen, u.s.w.
Beispiel:
Wurzel 131:Benachbarte Quadratzalhen:11^2;12^2
Durchschnitt aus deren Wurzeln:11,5
Quadrieren:132,25(das ist die neue benachbarte Quadratzahl)
Das ganze nochmal:
Durchschnitt aus den Wurzeln:11,75
Quadrieren:138(Neue benachbarte Qz)
Jetzt weißt du dass Wurzel 131 zwischen 11,5 und 11,75 liegt, weiterrechnen und es wird immer genauer…Ich geb zu das war jetzt mit Taschenrechner:wink:
Ich hoffe dass das so stimmt und ich habs einigermaßen verständlich erklärt:smile:
Grüße
Jojo

Anonym_d5503925c587 · 4. November 2003 um 23:26

Hi…

ich bin begeisteter Kopfrechner

Sehr löblich!

und würde gerne mal wissen
welche Methoden es zum schnellen berechnen von
Wurzeln,Logarithmen
etc. gibt.Ich habe auch schon etwas von der sogenannten
Trachtenberg-
Methode gehört,aber kann mir nichts konkretes zum Berechnen
von höheren (mehrstelligen) Zahlen darunter vorstellen.

Nie davon gehört. Hab zwar auf die Schnelle einen Link gefunden:

http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.trachten.html

aber dort und auf den weiterführenden Seiten geht es nur um die Grundrechenarten. Es gibt zwar öfter mal einen Hinweis, das auch Quadratwurzeln einfach zu finden sind, aber wie wird nicht verraten

Wenn ich im Kopf quadriere oder Wurzeln ziehe, arbeite ich viel mit binomischen Formeln, zB so:

x = sqrt(155)
näheste Quadratzahl, die mir einfällt: 144
x = 12 + b
x² = 12² +2*12*b + b²
b(b + 24) = 11
b ist logischerweise kleiner 1
b + 24 ist dann ungefähr 24
b ist ungefähr 11 / 24
b ist ungefähr 1/2
Erstes Näherungsergebnis: 12,5
Wenn das nicht genau genug ist, wieder mit binomischer Hilfe quadrieren:
12,5² = 12² + 2*1/2*12 + 1/2² = 144 + 12 + 1/4 = 156,25
Mit dieser neuen bekannten Quadratzahl wieder genauso verfahren:
b(b - 25)=1,25
b ca. -1,25/25
b ca. -0,05
Zweiter Näherungswert: 12,45
Weiter komme ich nicht, ohne Zwischenergebnisse aufzuschreiben. Es ist wichtig, mit der ersten „geratenen“ Quadratzahl möglichst nah heranzukommen, damit das Ergebnis nach ein oder zwei Schritten schon hinreichend genau ist. Bei mir heißt das: x sollte nicht größer als 25 sein oder in der Nähe eines Vielfachen von 50 oder einer geraden Zweierpotenz bis 2¹⁰ liegen. Damit decke ich den Bereich bis sqrt(10⁶) mit zufriedenstellender Genauigkeit ab, auch wenn ich bei großen Zahlen nicht mehr sonderlich schnell bin.

Für Logarithmen hat mein Ehrgeiz bisher nicht gereicht.

genumi

Wizard_of_War · 4. November 2003 um 23:12

Also mit großen (quadratwurzeln) kann ich dir dienen Logarithmen leider nicht.
Also eine Methode um Wurzeln im Kopf (bzw auf nem Blatt Papier) zu lösen ist folgende:

Schritt:
Zunächst teilt man die Zahl von rechts beginnend in 2er-Gruppen auf.
Schritt:
Nun zieht man von der am weitesten links stehende 2er-Gruppe mit 1 beginnend ungerade Zahlen ab. Das macht man solange, wie noch ungerade Zahlen subtrahiert werden können, ohne das der Rest negativ wird.
Schritt:
Die Anzahl der ungeraden Zahlen schreibt man dann als erste Ziffer des Ergebnisses hinter dem Gleichheitszeichen.
Schritt:
Zu dem verbliebenen Rest nimmt man nun die nächste 2er-Gruppe hinzu.
Schritt:
Das bisherige Ergebnis wird mit 2 multipliziert und um eine Stelle nach links verschoben unter der im Schritt 4 entstandenen Zahl geschrieben.
Schritt:
Die im Schritt 5 entstandene Zahl wird nun im Einer durch 1 erweitert. Mit der so entstandenen Zahl beginnend, zieht man wieder wie im Schritt 2 die ungeraden Zahlen von der im Schritt 4 entstandenen ab.

Nun beginnt wieder alles von vorn.
Etwas schöner sieht man das auf dieser HP hier:
http://www.diaware.de/html/wurzel.html

Gruß, Wiz

Anonym_d5503925c587 · 4. November 2003 um 23:30

Hi…

Also mit großen (quadratwurzeln) kann ich dir dienen
Logarithmen leider nicht.
Also eine Methode um Wurzeln im Kopf (bzw auf nem Blatt
Papier) zu lösen ist folgende:

Das gefällt mir ausnehmend gut!

genumi

Anonym · 5. November 2003 um 12:24

Danke für die zahlreichen Antworten.Ich muss gestehen,dass einige Beiträge mir sehr geholfen haben meine Möglichkeiten zu verfeinern.
Danke auch für die Links.
Glaubt ihr allerdings,dass Menschen wie Dr. Gert Mittring oder Rüdiger Gamm (beide sind geniale Kopfrechner) die Veranlagung dazu haben oder dass sie einfach nur durch striktes Training unmögliche Aufgaben (z.B 89^12) lösen können.
Ciao Chris