Hi!
Ich würde gerne wissen warum folgende Summe den Wert 0 hat(n€|N):
cos(360°/n)+cos((2*360°)/n)+…+cos((n*360°/n)
Für den Sinus ist es nicht schwer zu beweisen, da sich immer zwei Werte zu null addieren. Beim Kosinus weiß ich aber nicht weiter.
Vielen Dank im voraus!!
Hi,
ist jetzt nur mal ein Versuch, hoffe, ich komme ans richtige Ende damit…
erstmal den Sinus veranschaulichen : ich gehe praktisch einmal im Kreis rum, dem ersten Wert der Summe entspricht der letzte Wert der Summe, mit umgekehrtem Vorzeichen, soweit klar. Oder in anderen Worten ausgedrueckt : Jeder Wert, den ich mir durch diese Additionsvorschrift in der oberen Haelfte des Einheitskreises rauspicke, hat, da die Schrittweite gleichbleibt und auch wieder am Ausgangspunkt (bzw. bei 360°) rauskommt, ein Spiegelbild in der unteren Haelfte.
Jetzt zum Kosinus:
Hier liegt eigentlich dieselbe Symmetrie vor - nur nicht zwischen der oberen und unteren Haelfte, sondern zwischen der linken und der rechten !
Der Cosinus ist dem Sinus gegenueber halt um 90 Grad verschoben, aber da Deine Summanden ja einmal im Kreis gehen, von 0° bis 360°, ist diese Verschiebung egal.
bye,
Matthias
Ich würde gerne wissen warum folgende Summe den Wert 0
hat(n€|N):
cos(360°/n)+cos((2*360°)/n)+…+cos((n*360°/n)
Für den Sinus ist es nicht schwer zu beweisen, da sich immer
zwei Werte zu null addieren. Beim Kosinus weiß ich aber nicht
weiter.
Vielen Dank im voraus!!
Hi!
moin
liegt wohl daran das cos nur nen phasenverschobener sin ist…
ciao norbert
Aber für n=5 wäre der cos nicht symmetrisch.
Es gilt zwar: cos72=cos288
cos144=cos216
Aber dann käme heraus:
2cos72+2cos144+1=0
Das scheint für mich nicht einfacher zu beweisen zu sein.
liegt wohl daran das cos nur nen phasenverschobener sin ist…
Es scheint wirklich so zu sein, dass bei alle phasenverschobenen Sinusfunktionen die Summe gleich 0 ist. Aber ich komm einfach nicht auf die Erklärung.
Hi $$
also bei mir ist n*360°/n immer noch =360° und damit der cos davon =1
cos((n*360°/n)=1
dann wäre Deine Summe genau n*1=n
(beim sin ist JEDES Glied=0)
Gruß,
Tom
Hi $$,
rechne die Summe doch einfach aus. Stifte dem Cos seinen Imaginaerteil i*Sin, dann kannst Du die urspruengliche Summe immer noch als Realteil wiederfinden und hast eine Summe aufeinanderfolgender Potenzen vor Dir, q+q^2+…+q^n. Wie mehrfach auch in diesem Forum gesehen, ist das aber gerade q(q^n-1)/(q-1).
Allgemein in Real- und Imaginaerteil aufsplitten.
In Deinem Fall ist aber q eine n-te Einheitswurzel, q^n=1, so dass beidemale Null rauskommt.
Ciao Lutz