Wahrscheinlich eine einfache Frage:
Wie berechnet man
-cos (pi)
und welches Ergebnis erhält man?
Danke.
Hi,
der Cosinus von PI ist -1.
Das gilt allerdings nur, wenn man als Winkelmaß den Radiant verwendet (was aber wohl der Fall ist)
„Berechnen“ kannst Du den Cosinus, indem Du dir die Funktion vorstellst:
|\_ \_
| \ / \
|---------------------
| \_/ \
|
0 PI 2PI
Der Cosinus hat eine Periode von 2*PI (entspricht 360°), ist bei 0 (0°) und
2*PI (360°) eins, bei PI (180°) -1.
Das ganze kannst Du Dir auch am Einheitskreis vorstellen:
Schau Dir dazu am besten die Animation auf http://de.wikipedia.org/wiki/Einheitskreis an. Der Cosinus (Ankathete durch Hypothenuse, Hypotenus am Einheitskreis ist 1) ist dann immer der x-Achsen-Abschnitt. Bei einem Winkel von 180° was PI entspricht ist der x-Achsenabschnitt -1.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Die einfache Antwort (am Beispiel von zwei Methoden):
Methode 1:
Mit einem handelsüblichen Taschenrechner.
Tippe die Pi-Taste, dann die cos-Taste, dann die Vorzeichenwechsel(+/-)-Taste.
Methode 2:
Mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Excel.
schreibe folgende Formel in eine Zelle:
=-cos(pi())
Ergebnis in beiden Fällen: 1.
Die schwierigere Antwort (wieder 2 Beispiele):
Antwort 1: Die Kosinus-Funktion ist definiert als Taylorreihe.
Das ist eine Summe (aus eigentlich unendlich vielen Summanden):
cos(x) = Summe[n=0..oo]((-1)<sup>n</sup>x<sup>2n</sup>/(2n)!)
„n!“ heißt n-Fakultät und meint das Produkt der Zahlen von 1 bis n.
Die Formel liefert für die ersten 6 Summanden (n=0…5) schon einen Wert, der auf die 2 Nachkommastelle genau ist (-1.002). Die ersten 9 Summanden liefern schon eine Genauigkeit auf die 10. Nachkommastelle. So machen das zB. Taschenrechner (oder Computerprogramme).
Antwort 2: Die Kosinus-Funktion ist definiert als Produkt:
cos(x) = Produkt[n=1..oo](1-(4n²/(2n-1)²Pi²)
Die Formel liefert für praktikable n nur recht ungenaue Lösungen. Für n=1…30 ist das Produkt zB. -1.05 und ist damit erst auf die erste Nachkommastelle genau.
Klar: -cos(Pi) bekommst Du, wenn du das Ergebnis der Reihen (also etwa -1) wieder mit -1 multiplizierst (also das Vorzeichen rumdrehst).
LG
Jochen
Methode 3:
Du malst einen Kreis mir Radius 1 (der hat dann den Umfang 2*Pi) um den Nullpunkt im kart. Koordinatensystem.
Jetzt gehst du (beginnend vom ‚rechtesten‘ Punkt des Kreises im Gegenuhrzeigersinn auf dem Kreis entlang, und zwar die vorgegebene Strecke Pi. Damit landest du ganz links…
In x-Richtung liegst du um -1 gegenüber dem Nullpunkt, also ist cos(Pi) = -1.
Falls der Spiegelstrich in deiner Frage ein Minus sein soll, dann halt noch mit ‚Minus Eins‘ multiplizieren…