hallo, hätte da mal ne wichtige frage und zwar soll ich den kosinussatz im stumpfwinkligen dreieck beweisen…ich hab aber immer gedacht das gilt in jeden dreieck…doch wieso gilt den das eig in jeden beliebigen dreieck??
hab schon nach möglichen antworten gesucht aber kein gefunden wo ich auch was verstehe…
danke schonmal^^
Hallo,
hallo, hätte da mal ne wichtige frage und zwar soll ich den
kosinussatz im stumpfwinkligen dreieck beweisen…ich hab aber
immer gedacht das gilt in jeden dreieck…doch wieso gilt den
das eig in jeden beliebigen dreieck??
Kennst du das schon: http://www.krauseplonka.de/math_onl/ma1/trig_fkt/cos…
Gruß
Kati
Hallo Kati,
– dieser Link behandelt leider kein stumpfwinkliges, sondern nur ein spitzwinkliges Dreieck. Da ist der Beweis viel leichter.
Liebe Grüße,
Immo
Hallo Jessy,
ich hab grad keine Lust, irgendein Dokument irgendwo zu hinterlegen, also folgt hier eine Skizze:
B
+– \_
|\β ¯ – \_
| \ ¯ – \_ c
h| a\ ¯ – \_
| \ ¯ – \_
| \ γ α¯ – \_
+–––––+–––––––––––––––––––––– =+
D x C b A
|------------––y---------------|
Gegeben seien a, b, γ; zu berechnen ist c.
Da ich erst einmal nur etwas über rechtwinklige Dreiecke weiß, schaffe ich mir ein solches, indem ich eine Höhe einzeichne. Diese Höhe sollte möglichst den bekannten Winkel nicht teilen, sonst kann ich mit dem nichts mehr anfangen. Also nicht die Höhe über C; ansonsten ist es egal, welche. Ich hab mal die über B genommen.
Nun habe ich zwei rechtwinklige Dreiecke, mit denen ich etwas beschreiben kann: ΔBCD und ΔABD.
Was kenne ich in ΔBCD? Zuerst mal die Seite a. Mit den anderen Seiten sieht’s schlecht aus. Was ist mit den Winkeln? Den rechten Winkel kenne ich natürlich, und sonst? Na klar, der Winkel bei C ist ja der Nebenwinkel von γ, also (180° – γ). Wenn ich in einem rechtwinkligen Dreieck aber eine Seite und einen Winkel kenne, kann ich alles andere ausrechnen. Der Winkel bei B ist (γ – 90°), aber der interessiert uns nicht weiter. Spannender sind die Seiten:
sin(180° – γ) = h/a h = a*sin(180° – γ) = a*sin(γ);
cos(180° – γ) = x/a x = a*cos(180° – γ) = —a*cos(γ).
Das sieht aber komisch aus: Eine negative Seite x? Aber nicht doch! Der Winkel γ ist ja stumpf, also zwischen 90° und 180°, und für solche Winkel ist der Kosinus – ja, genau: negativ. Es ist also alles in Ordnung, seltsam wär’s gewesen ohne das Minus!
Wir halten fest: Nun kennen wir nicht nur a und b, sondern auch x und h.
Nun zum Dreieck ΔABD. Da kennen wir anscheinend nur h, das hilft nicht viel weiter. Also überlegen wir mal: An den Winkel kommen wir nicht ran, da wir weder α noch β kennen. Die Seite c wollen wir ausrechnen. Bleibt noch y. Aber y setzt sich doch zusammen aus b und x, und die kennen wir ja beide:
y = b + x = b – a*cos(γ).
Wir haben also ein rechtwinkliges Dreieck, von dem wir zwei Seiten kennen und die dritte haben wollen. Das schreit ja geradezu nach Pythagoras! c ist die Hypotenuse, h und y die Katheten, also
c² = h² + y² = (a*sinγ)² + (b – a*cos(γ))² …
Ich denke, den Rest kannst Du allein. Aber nicht vergessen: Zum Quadrieren der Differenz brauchst Du die binomische Formel!
Liebe Grüße,
Immo
Hall Immo,
– dieser Link behandelt leider kein stumpfwinkliges, sondern
nur ein spitzwinkliges Dreieck. Da ist der Beweis viel
leichter.
Das kommt davon, wenn man zu schnell antwortet, habe das mit dem stumpfwinklig glatt überlesen…
Viele Grüße
Kati