Sollten es nicht so sein, dass die beiden Kräfte gleich groß
sind?
Nein. Du spielst vermutlich auf das dritte Newtonsche Axiom an, aber Du vergißt dabei, daß das nur für Inertialsysteme gilt und das Ruhesystem des beschleunigten Apfels ist kein Inertialsystem. Um die Newtonschen Mechanik auch in beschleunigten Bezugssystemen nutzen zu können, muß man Scheinkräfte einführen, die dafür sorgen, daß der Trägheitssatz gilt. Im Deinem Beispiel sieht das folgendermaßen aus:
Das System besteht in jedem Fall aus Apfel und Erde. Es werden aber drei Bezugssysteme unterschieden:
1. Ruhesystem des Masseschwerpunktes
Auf die Erde wirkt die Kraft
FErde = γ·mErde·mApfel/r²
und sie wird mit
aErde = γ·mApfel/r²
beschleunigt.
Auf den Apfel wirkt die Kraft
FApfel = -γ·mErde·mApfel/r²
und er wird mit
aApfel = -γ·mErde/r²
beschleunigt.
Das zweite und dritte Axiom sind hier erfüllt und das erste findet keine Anwendung (weil sich beide Körper bewegen). Es handelt sich offenbar um ein Inertialsystem.
2. Ruhesystem der Erde
Auf die Erde wirkt die Kraft
FErde = γ·mErde·mApfel/r²
sie wird aber nicht beschleunigt:
aErde = 0
Auf den Apfel wirkt die Kraft
FApfel = -γ·mErde·mApfel/r²
und er wird mit
aApfel = -γ·(mApfel+mErde)/r²
beschleunigt.
Hier gilt zwar noch das dritte Axiom, aber das erste und zweite Axiom wird verletzt. Es handelt sich also nicht um ein Inertialsystem. Abhilfe schafft die Einführung der Trägheitskraft
Ft = -m·γ·mApfel/r²
Dann gilt für die Summe aller auf die Erde wirkenden Kräfte
FErde = γ·mErde·mApfel/r² - mErde·γ·mApfel/r² = 0
womit das erste Axiom erfüllt wäre und für die Summe aller auf den Apfel wirkenden Kräfte gilt
FApfel = -γ·mErde·mApfel/r² - mApfel·γ·mApfel/r² = -γ·mApfel·(mApfel+mErde)/r²
womit auch das zweite Axiom erfüllt ist. Das dritte Axiom ist auf die Scheinkräfte nicht anwendbar, weil diese nicht von einem weiteren Körper ausgeübt werden, sondern Eigenschaft des Bezugssystem sind.
2. Ruhesystem des Apfels
Deiser Fall ist analog zum Ruhesystem der Erde, nur daß hier die Scheinkraft
Ft = m·γ·mErde/r²
eingeführt werden muß, um die Gültigkeit der Newtonschen Axiome zu erhalten.