Diese Aufgabe fand ich mal und sie lässt mir einfach keine Ruhe; und zwar:
zwei Parabeln (2x² und -x²) liegen in einem Koordinatensystem.
Ein Kreis (r=5 oder auch 4) soll so eingezeichnet werden, dass sein Umfang beide Parabeln tangential berührt.
Gesucht sind also die Koordinaten des Kreismittelpunktes.
Wenn jemand Spaß daran hat, kann er sie mit mir diskutieren, oder er hat vielleicht eine Lösung auf Anhieb parat.
Gruß Rechenschieber
Moin, Rechenschieber,
ein Ansatz:
Oder anders gesagt: Die beiden Parabeln um den Radius „vergrößern“.
Keine Ahnung, ob das was wird. Auf jeden Fall siehst Du sofort, ob der Kreis zu klein ist und direkt zwischen den Parabeln durchfällt 
Gruß Ralf
Ja, Idee nicht schlecht, aber schon ausprobiert. Die Parabeln um den Radius zu vergrößern geht nur zeichnerisch, denn der neue Graph ist nicht wieder eine Parabel(-funktion).
…denn die Steigung an der vergrößerten Stelle muss ja dieselbe sein wie die ursprüngliche, und das wäre ein Widerspruch in sich…glaub ich jedenfalls.
Vektorrechnung hilft mir nicht, weil nie gelernt.
Ich habe dir eine mail geschickt.
Gruß Uwe
Vorschlag
Hi,
wie wäre folgender Ansatz:
Gegeben die Parabeln P1 und P2. Gesucht sind eigentlich drei Punkte, nämlich
Der Mittelpunkt (xM,yM) eines Kreises mit Radius 4, der
die Parabel P1 im Punkt (x1,y1) berührt und der
die Parabel P2 im Punkt (x2,y2) berührt.
Die Kreisgleichung
(x - x<sub>M</sub>)<sup>2</sup> + (y - y<sub>M</sub>)<sup>2</sup> = 4
lässt sich aufteilen in zwei Abbildungen für den oberen und unteren Halbkreis:
K<sub>o/u</sub>(x) = +/- sqrt( 4 - (x-x<sub>M</sub>)<sup>2</sup> ) + y<sub>M</sub>
An den Berührpunkten sind die Tangenten (= 1. Ableitungen) von Kreis und jeweiliger Parabel gleich. (Ableitungen bitte selber bestimmen)
Zur Bestimmung der sechs Unbekannten x1, y1, x2, y2, xM, yM haben wir die Gleichungen
[1] y<sub>1</sub> = 2x<sub>1</sub><sup>2</sup>
[2] y<sub>1</sub> = sqrt( 4 - (x<sub>1</sub>-x<sub>M</sub>)<sup>2</sup> ) + y<sub>M</sub>
[3] y<sub>2</sub> = -x<sub>2</sub>2
[4] y<sub>2</sub> = -sqrt( 4 - (x<sub>2</sub>-x<sub>M</sub>)<sup>2</sup> ) + y<sub>M</sub>
[5] P<sub>1</sub>'(x<sub>1</sub>) = K<sub>o</sub>'(x<sub>1</sub>)
[6] P<sub>2</sub>'(x<sub>2</sub>) = K<sub>u</sub>'(x<sub>2</sub>)
Sechs Gleichungen für sechs Unbekannte sollten in diesem Fall für eine Lösung reichen.
Viel Spass beim Rechnen.
Gruß,
Ralf (ein anderer)
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Mini-Fehler
Hi,
da du dir so furchtbar viel Arbeit und Gedanken gemacht hast, ist es mir ja schon fast peinlich: aaaber die ‚4‘ in deinen Gleichungen müsste man durch ‚16‘ ersetzen, da man in den Fällen mit r² und nicht mit r rechnet
Nur wenn ich mich damit irre, wäre es mir noch peinlicher *hehe*.
Grüße
VAST
Tach Uwe,
bei „tangential“ musste ich sofort an die Normalen denken. Beide Normalen schneiden sich nämlich im Mittelpunkt. Das Ganze noch unter der Randbedingung, dass der Radius gegeben ist.
Hilfts was? Werde das mal anfangen durchurechnen, wenn ich mehr Zeit und Lust habe…
Gruß
jartUl
Stimmt, falscher Radius
Hi,
ich ging vom Einheitskreis mit x2 + y2 = 1 aus, da ist mir das Quadrat auf der rechten Seite abhanden gekommen.
Mit den angegebenen Gleichungen kann man immerhin einen Kreis mit Radius 2 suchen
Gruß,
Ralf
Sechs Gleichungen für sechs Unbekannte sollten in diesem Fall
für eine Lösung reichen.
Du sagst das so einfach… bei mehreren nichtlinearen Gleichungen kann die Algebra auch mal ziemlich eklig werden . Ich erinnere mich an ein ähnliches Problem (es kam mir sogar eher einfacher vor), das ich einmal lösen wollte. Nachdem ich entnervt aufgegeben habe und die Gleichungen in ein Computeralgebraprogram bugsiert habe, kam ein bildschirmfüllender Ausdruck mit imaginären Anteilen heraus…
Viele Grüße,
Sebastian
Ja, alles überlegt.
Die beiden Kreishälften habe ich auch mal in den Plotter eingegeben und einen „Annäherungsversuch“ durch Verschieben gestartet, wobei ich meine, dass Gleichung 2,4,5 und 6 denselben x-Wert haben muss.
Bin wegen der Verständlichkeit sogar davon ausgegangen, dass sich zwei Parabeln an der Abszisse spiegeln und somit der (die) Mittelpunkt(e) auf jeden Fall auf der Abszisse liegen muss (müssen).
Letztendlich hatte ich für die Beispielparabeln x² und -x² eine Gleichung 4. Ornung erhalten. Mit dem Radius von 5 durch Iteration erhielt ich einen X-Wert von 6,00665 LE.
Wenn ich da schon einen gedanklichen Fehler gemacht haben sollte, weiß ich wirklich nicht mehr weiter.
Gruß Uwe