ich brauch noch einmal eure Unterstützung was parametrisierte Kurven angeht.
Folgendes Szenario:
Ich schaue auf ein 3d kartesisches Koordinatensystem, dh. ich schaue auf die xy-Ebene, die z-Achse zeigt von mir weg.
Im Ursprung sitzt eine Art Uhrzeiger, der sich frei durch die xy-Ebene bewegen kann. Position bekannt.
Das Ende dieses Zeigers ist der Mittelpunkt für einen Kreis. Der Kreis „liegt“ auf dem Zeiger. Besser gesagt: Die Kreisebene ist senkrecht zur Position des Zeigers.
Anschaulich: Von meiner Position als Beobachter sehe ich keinen Kreis, sondern nur einen Strich - da ich ja genau von der Seite drauf gucke.
Wenn also der Zeiger direkt auf der x-Achse liegt, dann ist der Kreis parallel zur yz-Ebene, wenn er auf der y-Achse liegt, dann ist die Kreisfläche parallel zur xz-Ebene.
Für diese Extrempunkte (Zeiger liegt genau auf x oder y-Achse) kann man die Gleichung für den Kreis in Parameterform á la r(t)=(0,sin(t),cos(t)) ja sofort finden.
Wie kann ich aber abhängig von der beliebigen (!) Position des Zeigers immer die passende Kreisgleichung in Parameterform parat haben?
Ich möchte also für die volle 2*pi Drehung des Zeigers immer die Parametergleichung des „auf dem Zeiger balancierten“ Kreises haben.
Alle Hilfsmittel, die ich habe ist ja ein Vektor, der immer in der Kreisebene liegt. (cos(t), -sin(t))* müsste das ja sein.
Bin dankbar für jeden Gedankenanstoß.
Liebe Grüße
VAST
* ist ja die Ableitung (und damit Tangentialvektor) der Kreisbewegung des Zeigers
Für diese Extrempunkte (Zeiger liegt genau auf x oder y-Achse)
kann man die Gleichung für den Kreis in Parameterform á la
r(t)=(0,sin(t),cos(t)) ja sofort finden.
Wie kann ich aber abhängig von der beliebigen (!) Position des
Zeigers immer die passende Kreisgleichung in Parameterform
parat haben?
nimm doch einfach die Gleichung, die du schon hast, und drehe das ganze System in der x-y-Ebene um den Umsprung. Wie die Koordinaten dabei transformiert werden müssen, findest du hier an genau deinem Beispiel durchgespielt: http://de.wikipedia.org/wiki/Koordinatentransformati…
Das Ende dieses Zeigers ist der Mittelpunkt für einen Kreis.
Dieser Punkt hat den Ortsvektor (cos(t),-sin(t),0).
Die Kreisebene ist senkrecht zur Position des Zeigers.
Man kann sich leicht zwei Spannvektoren dieser Ebene überlegen, also zwei linear unabhängige Vektoren die beide senkrecht zum Zeiger stehen, nämlich
s*(sin(t),cos(t),0) und v*(0,0,1).
Sagen wir mal R ist der Radius des Kreises. Dann muss also gelten:
s2sin2(t)+s2cos2(t)+v2=R2 bzw.
s2+v2=R2.
Am einfachsten wird es wenn man s=Rsin§ setzt, dann folgt v=Rcos§ und damit