Kreisausschnitt ohne bekannten Winkel berechnen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

ich habe eine Kurve auf einem Blatt Papier. Es ist ein Ausschnitt aus einem Kreis, den ich aber nicht kenne. Ich kenne auch keinen Winkel und keinen Radius. Ich kann nur eine beliebige gerade ziehen, von einem zum anderen Ende des Ausschnitts und evtl in der Mitte eine Senkrechte.
Kann man mit diesen Infos die Länge des Ausschnitts berechnen?

#2

Hallo,

ich habe eine Kurve auf einem Blatt Papier. Es ist ein
Ausschnitt aus einem Kreis, den ich aber nicht kenne. Ich
kenne auch keinen Winkel und keinen Radius. Ich kann nur eine
beliebige gerade ziehen, von einem zum anderen Ende des
Ausschnitts und evtl in der Mitte eine Senkrechte.
Kann man mit diesen Infos die Länge des Ausschnitts berechnen?

ja.
http://de.wikipedia.org/wiki/Kreisabschnitt
Gruß VIKTOR

#3

Hallo,

ich habe eine Kurve auf einem Blatt Papier. Es ist ein
Ausschnitt aus einem Kreis, den ich aber nicht kenne. Ich kann nur eine
beliebige gerade ziehen, von einem zum anderen Ende des
Ausschnitts und evtl in der Mitte eine Senkrechte.
Kann man mit diesen Infos die Länge des Ausschnitts berechnen?

Hallo,

aber natürlich kann man das.
Nenne das eine Ende des Kreisbogens A und das andere B.
Zeichne die Strecke von A nach B. (Das ist eine Sehne des Kreises den du suchst.)
Zeichne die Mittelsenkrechte zu A und B. (Diese geht durch den Mittelpunkt des Kreises.)
Den Schnittpunkt der Sehne mit der Mittelsenkrechten nennst du C.
Den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit dem Kreisbogen nennst du D.
Bezeichne die Strecke AC mit s und die Strecke CD mit x.
Den gesuchten Radius des Kreises nennst du r.
Jetzt der allseits beliebte Satz des Pythagoras: s2+(r-x)2=r2
Nach r auflösen ergibt

r=\frac{s^2+x^2}{2x}

Damit lässt sich nun auch der Öffnungswinkel berechnen.

\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{s}{r}

also

\alpha=2\arcsin\left(\frac{s}{r}\right)

Für die Länge des Kreisbogens gilt jetzt b=rα
Dabei musst du aber mit α im Bogenmaß rechnen, nicht im Gradmaß.

Gruß

hendrik

#4

Moin,

man kann, dieses Verfahren wird auch häufig in der optischen Industrie angewendet. Im folgenden Link sind die Zeichnungen nicht besonders gelungen, aber vlt. hilft er Dir doch.

http://de.wikipedia.org/wiki/Ringsph%C3%A4rometer

Ach, das Stichwort ist „Sphärometerformel“, allerdings nicht bei Wiki :frowning:

Gruß Volker

#5

Man kann das auch konstruieren:

  1. Sehne AB einzeichnen.
  2. Mittelsenkrechte m einzeichnen. Schnittpunkt von m mit AB sei C, Schnittpunkt von m mit Kreisabschnitt sei D.
  3. Sehne AD einzeichnen.
  4. In A die Senkrechte auf AD konstruieren. Diese Senkrechte sei s. Der Schnittpunkt von s mit m sei E.
  5. Mittelpunkt M von DE konstruieren. M ist auch Mittelpunkt des Kreises.

Warum? Wegen der Umkehrung vom Satze des Thales.

Liebe Grüße
Immo