Ist es möglich in ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 (8) mehr als 16 (64) Kreise mit dem Durchmesser 1 einzuzeichnen, ohne dass sich die Kreise überschneiden bzw. über das Quadrat hinausgehen.
Who know´s?
Peter
Hallo Peter,
schöne Aufgabe.
Ich bin der Meinung, daß es möglich ist, bei dem grösseren Quadrat 68 Kreise zu
legen, indem man zuerst eine Reihe aus 8 Kreisen danach eine aus 7
und so weiter legt. Die letzte und neunte Reihe hat dann wieder
8 Kreise.
Bei dem kleinen Quadrat ist das aber nicht möglich, weil der
„Platzgewinn“ nicht für eine fünfte Reihe reicht.
Gruss
Manfred
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Ist es möglich in ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 (8) mehr
als 16 (64) Kreise mit dem Durchmesser 1 einzuzeichnen, ohne
dass sich die Kreise überschneiden bzw. über das Quadrat
hinausgehen.
Nun, verallgemeinern wir das Problem für’s Erste ein wenig:
In ein Quadrat der Seitenlänge A lassen sich (A/d)^2 Kreise des Durchmessers d einschreiben (wenn A und d jeweils ganze Zahlen sind).
Die dichteste Packung von Kreisen in einer Ebene ist, wenn man die zweite Lage jeweils um d/2 verschiebt, so daß die Mittelpunkte die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks jeweils beschreiben. Dann haben zwei aufeinanderfolgende Lagen immer den Abstand c = sqrt(3)/2 * d.
Die Frage ist nun, wann ist die quadratische Abdeckung n = (A/d)^2 kleiner als diese Abdeckung N = (A/d)*(A/c) - A/(2c) (beim Versatz geht immer eine Kugel weniger in die Reihe).
Gleichsetzen liefert, daß dieses für A > 3,73 möglich sein sollte.
Das Problem ist, daß hier nicht vollständige Kreise auch mitberücksichtigt wurden, man also alle Werte (A/d) und (A/(sqrt(3)d) in obiger Rechnung immer hätte abrunden müssen. Darum:
[x] heißt ganzer Zahlwert abgerundet:
Berücksichtigt man dieses, so stellt man fest, daß die quadratische Stapelung bei Quadratseitenlänge 4 besser ist, da [A/c(4)] = [4,6] = 4 und wir keine Extrareihe hineinbekommen. Bei [A/c(8)] = [9,2] > 8 bekommen wir so eine Extrareihe, d.h. die maximale Anzahl an Kreisen, die dort hineinpaßt ist:
(A + (A-1)) * [A/(2c)] + A = (8 + 7) * [8/1,73] + 8 = 15 * 4 + 8 = 68 > 64.
Im übrigen bekommen wir auch schon bei A=7 (mit d=1) mehr Kreise hinein, nämlich 52 statt 49.
Allgemein gilt also:
[A/c] gerade: N_max = (2A-1) * [A/(2c)]
[A/c] ungerade: N_max = (2A-1) * [A/(2c)] + A
mit A: Seitenlänge, c=sqrt(3)/2*d, d:Kreisradius.
Ab A=7 ist die dichteste Kugelpackung besser als die quadratische.
Gruß,
Ingo