Ich hätte mal eine Frage zum Kreiselkompass,
bekanntlich wirkt auf einen Kreiselkompass, der z.B. am Äquator aufgestellt ist und dessen Drehachse in Ost-West-Richtung liegt ein Drehmoment D aufgrund der Erdrotation (und wzar in Richtung der Erdachse). Folglich präzediert der Kreisel und dreht sich in Nord-Richtung.
Wenn ich jetzt die Präzessionsfrquenz wp=D/L berechnen wollte, bräuchte ich jedoch das Drehmoment, das auf den Kreisel wirkt, weiß jemand wie man das berechnet??
Wenn ich jetzt die Präzessionsfrquenz wp=D/L berechnen wollte,
bräuchte ich jedoch das Drehmoment, das auf den Kreisel wirkt,
weiß jemand wie man das berechnet??
Dazu mußt Du die Reibungskraft des Lagers über den Radius integrieren, auf dem sie wirkt. Da das praktisch aber kaum zu schaffen ist, dürfte es einfacher sein, das Drehmoment zu messen, indem man den Kompaß mit ruhenden Kreisel um die Querachse dreht und die Beschleunigung mißt, mit der der Kreisel dieser Rotation folgt.
Dazu mußt Du die Reibungskraft des Lagers über den Radius
integrieren, auf dem sie wirkt.
Was hat denn das Lager damit zu tun? Das würde ja bedeuten, daß der Kompass umso so schlechter funtioniert, je besser er gelagert ist?
Im Idealfall ist die Reibung = 0 => D=0 => wp = D/L=0!!
Oder bin ich jetzt auf der total falschen Fährte?
Was hat denn das Lager damit zu tun? Das würde ja bedeuten,
daß der Kompass umso so schlechter funtioniert, je besser er
gelagert ist?
Im Idealfall ist die Reibung = 0 => D=0 => wp = D/L=0!!
Oder bin ich jetzt auf der total falschen Fährte?
Ich dachte Du meinst das Drehmoment, welches den Kreisel aus seiner Lage bringen soll (wenn der Kompaß mit der Erdrotation gedreht wird). Dieses Drehmoment wird mit abnehmender Reibung natürlich immer kleiner, wodurch der Kreisel (infolge des Drehimpulserhaltungssatzes) immer länger in seiner ursprünglichen Orientierung verharrt.
Das Drehmeoment mit dem der Kreisel auf diese Störung reagiert, müßte sich aus dem Kreuzprodukt des angreifenden Drehmomentes und seinem Drehimpuls ergeben.
Dieses Drehmoment wird mit abnehmender Reibung
natürlich immer kleiner, wodurch der Kreisel (infolge des
Drehimpulserhaltungssatzes) immer länger in seiner
ursprünglichen Orientierung verharrt.
Hmmm. Sehe ich das dann richig, wenn ich denke, daß ein Kreisel, der sich reibungsfrei dreht IMMER seine Orientierung(egal wohin er weist) beibehält, egal wo er auf der Erde steht? Oder richtet er seine Achse immer nach der Drehachse der Erde aus?(was mir unlogisch erscheint, wenn der Kreisel rotatiossymmetrisch ist, denn da neutralisieren sich die angreifenden Kräfte ja immer)
Hmmm. Sehe ich das dann richig, wenn ich denke, daß ein
Kreisel, der sich reibungsfrei dreht IMMER seine
Orientierung(egal wohin er weist) beibehält, egal wo er auf
der Erde steht? Oder richtet er seine Achse immer nach der
Drehachse der Erde aus?(was mir unlogisch erscheint, wenn der
Kreisel rotatiossymmetrisch ist, denn da neutralisieren sich
die angreifenden Kräfte ja immer)
Ganz so einfach ist die Sache nicht. Der Kreiselkompaß muß vor dem Einsatz „eingenordet“ werden. Wenn man z.B. am Äquator die Kreiselachse waagerecht legt und die Anordnung um eine senkrechte Achse drehbar gelagert ist, wird sich die Kreiselachse langsam parallel und in gleicher Drehrichtung zur
Erdachse ausrichten. Auf jede Störung seiner Achsrichtung wird die Kreiselachse mit einer erneuten Ausrichtung reagieren. Das kann natürlich nur funktionieren, wenn das Reibungsdrehmoment des senkrechten Achlagers geringer ist, als das durch die Erdrotation verursachte Ausrichtdrehmoment. Warum sich der Kreisel ausrichtet, habe ich unter dem Thema „Rotationsinnharmonie“ ( im Archiv zu finden ) ausführlich erklärt.
Wenn man den Kreisel dann reibungsfrei, in alle Richtungen des Raumes drehbar lagert, wird er seine Lage im Raum stabil beibehalten. Das wäre dann aber eher als Lage(änderungs)sensor denn als Kompaß geeignet. Wegen der unvermeidlichen Lagerreibung kann die Lage im Raum auch nicht beliebig lange stabil bleiben.
Jörg
Sei
I1: Massenträgheitsmoment des Kreisels um seine Drehachse
I2: Massenträgheitsmoment des Kreisels normal zu seiner Drehachse
v: winkelgeschwindigkeit der Erdrotation
Omega: winkelgeschwindigkeit des Kreisels
Winkelgeschwindigkeit der Präzessionsfrequenz:
(I1 / I2) mal Omega mal v
Präzessionsfrequenz:
((I1 / I2) mal Omega mal v ) / (2 mal pi)
Durch die notwendige Dämpfung erniedrigt sich die Präzessionsfrequenz (analog zur gedämpften Schwingung)
Harald
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Hmmm. Sehe ich das dann richig, wenn ich denke, daß ein
Kreisel, der sich reibungsfrei dreht IMMER seine
Orientierung(egal wohin er weist) beibehält, egal wo er auf
der Erde steht?
So ist es.
Nein.
Er schwingt, wenn nicht bedämpft, um die Erdachsenparallele.
Wenn bedämft, kommt die Schwingung in Erdachsrichtung zur Ruhe
Wenn er „kritisch“ bedämft ist, wird keine Schwingung beobachtbar sein, er wird sich ohne erkennbare Schwingung aus jeder Auslenkung heraus in die Erdachsparallele begeben. Daher erscheint er immer Erdachsparallel.
Harald
Harald
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Winkelgeschwindigkeit der Präzessionsfrequenz:
(I1 / I2) mal Omega mal v
Die Formel hört sich eigentlich ganz gut an… woher hast du sie denn abgeleitet??
(aber so ganz richtig scheint sie nicht zu sein, denn die EINHEIT wäre dann [omega*v] = 1s^-4 … )
Ich dachte Du meinst das Drehmoment, welches den Kreisel aus
seiner Lage bringen soll
ja das mein ich auch!
Dieses Drehmoment wird mit abnehmender Reibung
natürlich immer kleiner, wodurch der Kreisel (infolge des
Drehimpulserhaltungssatzes) immer länger in seiner
ursprünglichen Orientierung verharrt.
Ich glaube wir reden aneinander vorbei… also so wie ich den Kreiselkompaß kennengelernt habe, kann die Kreiselachse sich nur in einer horizontalen Ebene drehen. Im Gegensatz zu einem freien Kreisel, der seine mit der Drehimpulsrichtung zusammenfallenden Figurenachse zeitlich konstant halten würde, ist bei dem „gefesselten“ Kreiselkompass, die Aufhängeachse starr mit der Erde verbunden und macht so zwangsläufig die Erdrotation mit.
Und wie man das Drehmoment das dadurch erzeugt wird berechnet, hätte ich halt gerne gewußt…
Ich glaube wir reden aneinander vorbei… also so wie ich den
Kreiselkompaß kennengelernt habe, kann die Kreiselachse sich
nur in einer horizontalen Ebene drehen. Im Gegensatz zu einem
freien Kreisel, der seine mit der Drehimpulsrichtung
zusammenfallenden Figurenachse zeitlich konstant halten würde,
ist bei dem „gefesselten“ Kreiselkompass, die Aufhängeachse
starr mit der Erde verbunden und macht so zwangsläufig die
Erdrotation mit.
Ich habe einmal einen Kreiselkompaß in einem Flugzeug gesehen und der hing in einer kardanischen Aufhängung. War das gar kein Kreiselkompaß oder ist Kreiselkompaß nicht gleich Kreiselkompaß?
Und wie man das Drehmoment das dadurch erzeugt wird berechnet,
hätte ich halt gerne gewußt…
Die Berechnung läuft genauso wie beim freien Kreisel. Das Antwortmoment müßte sich aus dem Kreuzprodukt des äußeren Drehmomentes und dem Drehimpuls des Kreisles ergeben. Das äußere Drehmoment müßte man wiederum aus der Rotation des Kreisels um die Erdachse und seinem jeweiligen Trägheitsmoment (das hängt ja von seiner Orientierung zu Erdachse ab) berechnen.
…oder ist Kreiselkompaß nicht gleich
Kreiselkompaß?
Hallo, Mr. Stupid, und andere.
Ich wollte mich eigentlich hier raushalten, weil dieses Thema für eine eingehende Diskussion im WWW zu komplex ist. Aber es wurden ein paar Bemerkungen gemacht, die, aus dem Zusammenhang gerissen - eben aus diesem Grunde - zu Missverständnissen führen. In den meisten Fällen, nämlich dort wo der Kreiselkompaß in ortsveränderlichen Objekten (Land-, Wasser-, Luft- und Raum-Fahrzeugen) eingesetzt wird, ist er kardanisch montiert, um die Fahrtfehler durch die Eigenbewegungen des Fahrzeugs um seine Körperachsen und durch die eigentliche Fortbewegung (die Fahrt selbst) weitestgehend auszuschalten. Nur in der Geodäsie verzichtet man auf die kardanische Montierung. Die Spin-Achse des Kreisels liegt in der örtlichen Horizontebene, die mit ihrem Normalvektor parallel zum Lotvektor an diesen gefesselt ist. Darum folgt diese Ebene der Erddrehung mit etwa 15°/h um eine Achse, die in der örtlichen Meridianebene liegt. Liegt die Spinachse nun nicht in dieser Ebene, so erfährt sie eine Störung, die sie veranlasst sich in diese Ebene zu drehen. Das Richtmoment errechnet sich zu:
M = L * w * cos phi * sin psi. Hierin sind L der Drall des Rotors in kgm²/s, w die Drehgeschwindigkeit der Erde in 1/s, phi die geographische Breite und psi der Winkel zwischen Spin-Achse und Meridianebene. M ergibt sich dann zu kgm²/s² = Nm. Diese Zusammenhänge wurden in erster Linie von Anschütz, Sperry und Schuler zu Anfang dieses Jahrhunderts für die Trägheitsnavigation angewandt. Die beschriebene Anordnung hat durch die Lotfesselung Pendelcharakter und ist damit schwingfähig. Besonders translatorische Störungen auf den Schwerpunkt des Rotors wirken anregend. Deshalb sind diese Systeme stark bedämpft. Gänzliche Unempfindlichkeit gegen Querbeschleunigungen wird erreicht wenn man die Eigenfrequenz des Systems der Schulerperiode (84,4 min) angleicht. Das entspricht der Schwingungszeit eines mathematischen Pendels dessen Fadenlänge dem Erdradius entspricht.
Zwischen den rein mechanischen Lösungen, wie sie Anschütz 1908 für die Seefahrt entwickelte und den heutigen mit Trägheitsplattformen in Luft- und Raumfahrt, liegt das weite Spektrum der speziellen nordsuchenden Verfahren und ihren Ausführungen.
Mit freundlichen Grüßen
Alexander Berresheim
Richtig, ich habe eine Wurzel übersehen.
Es lautet die Winkelgeschwindigkeit DES QUADRATES der Präzessionsfrequenz:
(I1 / I2) mal Omega mal v
Die Dimension von (I1 / I2) ist 1
Die Dimension von Omega mal v ist 1/sec^2
Also ist die Dimension des gesamten Termes 1/sec
Ableiten läßt sich das aus einer speziellen Form des Drallsatzes, der EULER’schen Gleichungen. Man schreibe den
Drallsatz aus der allgemeinen Mechanik in einem körperfesten Koordinatensytem in Richtung der Trägheitshauptachsen, Koordinatenursprung im Schwerpunkt, dann
erhält man drei Skalargleichungen, die Eulerschen Gleichungen.
Schreibt man in ein Koordinatensystem um, welches nur bezüglich der Achse des größten Masseträgkeitsmomentes körperfest ist, dann kann man darstellen, wie der Kreisel auf von außen angebrachte Momente reagiert.
Dann schreit man um in ein Inertialsystem, wleches die Erddrehung nicht mitmacht, und erhält eine einfach Differentialgleichung 2. ordnung, deren Wurzel obiges Ergebnis ist.
harald
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Das Richtmoment errechnet sich zu:
M = L * w * cos phi * sin psi. Hierin sind L der Drall des
Rotors in kgm²/s, w die Drehgeschwindigkeit der Erde in 1/s,
phi die geographische Breite und psi der Winkel zwischen
Spin-Achse und Meridianebene.
Also hier muß nochmal nachhaken.
Mal angenommen man befindet sich am Äquator und der Winkel zwischen Spin-Achse und Meridianebene wäre 90 Grad, dann lautet deine Formel doch:
M=L*w
die Winkelgeschwindigkeit der Präzessionsfrequenz wäre doch dann
wp=M/L=L*w/L = w !!
Also in der Größenordnung der Erddrehung! Kann sein, daß ich nicht 100%ig richtig gerechnet habe, da ich die verschiedenen Trägheitsmomente durcheinander geworfen habe (einmal für die Drehung UM die Spinachse und einmal FÜR die Drehung der Spinachse in der Ebene), aber davon mal abgesehen - die Größenordung dürfte wohl die selbe bleiben - kann es wirklich sein, daß die Präzessionsfrequenz in der Größe der Erddrehung liegt… das wäre doch ziemlich langsam!!
Ich hab halt noch nie so einen Kreiselkompass gesehen.
Weiß eigentlich jemand, wo man etwas darüber im Nets findet?
Gruß
Oliver
Hallo Oliver
Es hat etwas länger gedauert, aber vor Weihnachten …
Die Zusammenhänge lassen sich am anschaulichsten an Hand der Pendelgesetze erläutern.
Im allgemeinen haben nordsuchende Kreisel mit horizontal liegender Spinachse drei Freiheitsgrade, von denen man den, der durch die zweite Achse gegeben ist derart einschränkt, dass man diesen Rahmen mehr oder weniger elastisch in seiner Mittellage fesselt. Prägt man dieser Anordnung nun die Drehgeschwindigkeit der Erde ein, so wird nach dem Präzessionsgesetz um die dritte, vertikale Achse ein Moment hervorgerufen, das versucht, die Spinachse in die Ebene der Erdachse zu drehen.
In seiner einfachsten Anordnung wird beim nordsuchenden Kreisel der zweite Rahmen nicht elastisch gefesselt, sondern starr montiert. Hierbei lässt sich die Dynamik leichter veranschaulichen.
Das Präzessionsmoment ist dann dem Betrag nach:
M = we * cos phi * L * sin psi = M(phi) * sin psi
Hierin sind we die Erddrehgeschwindigkeit mit 15 "/s, phi die geographische Breite, L der Drallvektor des Kreiselrotors und psi die Winkelabweichung der Spinachse zur örtlichen Meridianebene.
Hieraus ersieht man schon, daß das Richtmoment M an den Polen verschwindet (phi = +/- 90°) und am Äquator ein Maximum hat. Weiters sieht man, dass sich das Richtmoment mit dem Winkel der Abweichnung sinusförmig ändert, mit zwei Nullstellen in der Meridianebene und den Maxima senkrecht dazu. Von den Nullstellen ist nur die nach Norden weisende stabil, wogegen die entgegengesetzte instabil ist. Die kleinste Störung verursacht eine momentenvergrößernde Auslenkung. Das ist das Verhalten eines Stabpendels in einem Schwerefeld.
Nun muß man die Wirkung des Richtmomentes auf das polare Trägheitsmoment der Rahmenanordnung des Kreisels um die dritte, vertikale Achse Z betrachten. Man schreibt
Iz * d² psi / d t² = - M(phi) * sin psi.
Diese Differentialgleichung ist auf einfache Form so nicht lösbar. Man macht keinen großen Fehler, wenn man für kleine Winkel, bis zu +/- 10° den Sinus mit dem Bogenmaß des Winkels gleichsetzt und somit einen linearen Ansatz erhält. Der Fehler ist in diesem Bereich kleiner als 1 Promille.
Man erhält dann
d² psi / d t² + M(phi) * psi / Iz = 0
Und das ist die Schwingungsformel für das physische Pendel wenn man in der Formel für das mathematische Pendel die reduzierte Pendellänge einführt. Für die Schwinungsperiode ergibt sich dann T = 2 * Pi * SQR(Iz / M(phi)). Wird nun die starre Montage durch eine elastische Fesselung ersetzt so vergrößert sich die Schwingperiode, evtl. um Größenordnungen. Auf diese Weise werden, wie schon in meinem vorigen posting erwähnt geodätische Vermessungskreisel betrieben. Man beobachtet die Nulldurchgänge sowie die Umkehrpunkte der Schwingung und bildet Mittelwerte zur Bestimmung der geographischen Nordrichtung bis auf eine Genauigkeit von Bruchteilen einer Winkelminute.
Wenn aber z.B. für Navigationsaufgaben ein Einlaufen der Spinachse des Kreisels auf Nord verlangt wird, so führt man eine Dämpfung der Schwingung ein. Alle diese Maßnahmen machen das System genauer, aber auch träger. Man kann nun rückwärts über die längere Periode die theoretische, reduzierte Pendellänge ausrechnen, die mit wachsender Periode immer größer wird, bis man bei einer Periode von 84,4 min bei einer Fadenlänge vom Erdradius anlangt. Ein solches Pendel kann durch Querbeschleunigungen an seinem Aufhängepunkt oder seitliche Verlagerung desselben, nicht mehr angeregt werden. Das ist der Grund warum Kreiselkompasse mit langen Schwingperioden in Schiffen durch Fahrt und Schlingern nur geringfügig gestört werden.
Das sind die Zusammenhänge bei einem klassischen ‚Nordsuchenden Kreisel’. Darüber hinaus gibt es Ausrichtverfahren die einen anderen mechanische Aufbau besitzen und andere inertiale Meßwertgeber benutzen, wie proportionale oder integrierende Wendekreisel und Beschleunigungsmesser. Hier sind die speziellen Eigenschaften der jeweiligen Verfahren hauptsächlich in den Regelkreisen, die die Komponenten verbinden untergebracht.
Hoffentlich hat das etwas Klarheit vermitteln können. Ansonsten gibt es hierüber ausführliches Schrifttum. Stichwort: Trägheitsnavigation.
Mit freundlichen Grüßen
Alexander Berresheim