Gegeben sind 2 Kreise, wobei der Mittelpunkt des 2. auf dem Umfang des ersten liegt. Der Flächeninhalt der Schnittfläche der beiden Kreise ist gleich der halben Fläche des ersten Kreises. In welchem Verhältnis stehen die Radien der beiden Kreise zueinander?
Hi Igel,
dieses Problem wurde hier im letzten Herbst (es gab noch kein Archiv) bereits behandelt, hieß damals allerdings Ziegenproblem (Zaun um Kreis 1, Ziege mit Seil, dessen Länge dem Radius von Kreis 2 entspricht, Ziege darf die Hälfte des Grases fressen). Hier ist meine Lösung von damals (es ist leicht zu sehen, daß es genau die Lösung Deiner Aufgabe ist):
Puh,
das ist knifflig!
Also, wenn man den Zaunpfahl in den Koordinatenursprung legt, dann wird der relevante Halbkreis durch die Funktion
F1:y=r-sqrt(r^2-x^2)
beschrieben, der Aktionsradius der Ziege sei l, dann ist ihr Auslauf beschränkt durch
F2:y=sqrt(l^2-x^2)
Diese beiden Funktionen beschreiben einen Normalbereich bezüglich der x-Achse, so das die abkaubare Fläche durch (oh Gauss, sei mir gnädig ob dieser Schreibweise)
Integral von -z bis z (Integral von F1 bis F2 1 dy)dx
gegeben ist. Etwas unangenehm ist, daß die x-Werte der Schnittpunkte von F1 und F2 ebenfalls nur mittels transienter Funktionen darstellbar sind. Also sind sie zunächst mit z und -z bezeichnet. Die Lösung für dieses Doppelintegral ist
l^2*ATAN(z/SQRT(l^2-z^2))+r^2*ASIN(z/ABS®)+z*(SQRT(l^2-z^2)+SQRT(r^2-z^2)-2*r)
Soll die Ziege genau die Hälfte abfressen, so lautet die Lösungsgleichung:
2*l^2*ATAN(z/SQRT(l^2-z^2))+2*r^2*ASIN(z/ABS®)+2*z*SQRT(l^2-z^2)+2*z*SQRT(r^2-z^2)-4*r*z=pi*r^2
Wenn man nun einen o.B.d.A. einen Einheitskreis betrachtet, also r=1 setzt, und weiterhin die Beziehung
l^2=z^2 + (1-sqrt(1-z^2))^2
ausnutzt, dann reduziert sich das Ziegenproblem auf die Lösung der folgenden transzendenten Gleichung in z:
4*(1-SQRT(1-z^2))*ATAN(z/SQRT(-2*SQRT(1-z^2)-z^2+2))+2*ASIN(z)+2*z*SQRT(-2*SQRT(1-z^2)-z^2+2)+2*z*SQRT(1-z^2)-4*z-pi=0
Ich kann mir nicht vorstellen, daß hierfür eine analytische Lösung existiert, kann dieses aber auch nicht ausschließen. Ich habe die Lösung numerisch mittels einfacher Bisektion ermittelt, man erkält:
Z=0.9444433782
L^2=1.3426516742
L=1.1587284730
Das Seil muß also 1.1587 mal so lang sein wie der Radius des eingezäunten Bereiches.
Gruß und gute Nerven beim Nachrechnen
Ted
PS.: Damals hat ein Michael eine rein geometrische Lösung gepostet, welche zu einen etwas anderen Ergebnis kam. Wir konnten nie klären, wer richtig lag.
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