Hallo,
wie ändert sich die Krümmung einer n-dimensionalen Kugel konstanten Radiuses mit steigender Dimension, also für n = 0…oo?
Gruß Dumonde
*die* Krümmung gibt es nicht!
Hallo,
wie ändert sich die Krümmung einer n-dimensionalen Kugel
konstanten Radiuses mit steigender Dimension, also für n =
0…oo?
Gruß Dumonde
Hallo Dumonde,
wie bereits im subject: *die* Krümmung gibt es nicht!
Es gibt Hauptkrümmungen, Schnittkrümmungen, skalare Krümmung, mittlere Krümmung, Gaußsche Krümmung, Riemannschen Krümmungstensor, Ricci-Krümmung. Das war was mir so direkt einfällt. Manches ist in manchen Dimensionen das gleiche. Dann gibt es verschiedene Arten der Normierung, ist nicht immer einheitlich. Man kann also *eine* mögliche Krümmung so definieren, dass die Kugel mit Radius 1 immer Krümmung 1 hat, man kann es aber auch anders machen. Ansonsten macht eine 0-dimensionale Kugel wenig Sinn, ebenso wie es mit der unendlich-dimensionalen schwierig wird.
Ciao, Holger
Rückfrage
Hallo,
unter einer Kugel verstehe ich ein genau dreidimensionales Gebilde. Was verstehst Du unter einer 1-, 2-, 4-, etc. dimensionalen Kugel? Was verstehst Du unter Krümmung? Ist sie größenabhängig?
Gruß
Axel
Hallo,
wie ändert sich die Krümmung einer n-dimensionalen Kugel
konstanten Radiuses mit steigender Dimension, also für n =
0…oo?
Keine Ahnung, wie dun auf diese Frage kommst, aber die Antwort lautet: gar nicht natürlich. Der Krümmungsradius (=skalare Krümmung) ist ja immer der gleiche. Andere interessante Krümmungen gibt es auf der Kugel nicht.
Gruß
Oliver T.
Hallo,
wie ändert sich die Krümmung einer n-dimensionalen Kugel
konstanten Radiuses mit steigender Dimension, also für n =
0…oo?
Gruß DumondeHallo Dumonde,
wie bereits im subject: *die* Krümmung gibt es nicht!
Es gibt Hauptkrümmungen, Schnittkrümmungen, skalare Krümmung,
mittlere Krümmung, Gaußsche Krümmung, Riemannschen
Krümmungstensor, Ricci-Krümmung. Das war was mir so direkt
einfällt. Manches ist in manchen Dimensionen das gleiche. Dann
gibt es verschiedene Arten der Normierung, ist nicht immer
einheitlich. Man kann also *eine* mögliche Krümmung so
definieren, dass die Kugel mit Radius 1 immer Krümmung 1 hat,
man kann es aber auch anders machen. Ansonsten macht eine
0-dimensionale Kugel wenig Sinn, ebenso wie es mit der
unendlich-dimensionalen schwierig wird.
Aber wir haben hier eine Kugel. Und da ist die einzige „relevante“ Krümmung ja doch die skalare, sprich der Ricci-Skalar. Alles anderen Krümmungen sind Tensorgrößen proportional dazu.
Ergo: Krümmung bleibt kraft des immerwährend gleichen Radiusses gleich.
Gruß
Oliver T.
Ciao, Holger
Hallo Oliver,
im wesentlichen stimmt diese Aussage natürlich, aber nicht in dieser Allgemeinheit. AFAIK sind die Normierungsgrößen nicht immer die selben, d.h. man kann durchaus auf Artikel treffen die mit der Summe der Hauptkrümmungen arbeiten, eine Größe die auch Sinn macht und nur ein Vielfaches der Skalarkrümmung ist, aber der Faktor ist abhängig von der Dimension. Außerdem ist in der Ausgangsfrage nur von einer Kugel mit konstantem Radius die Rede, nicht notwendig 1. Wenn ich den Radius aber auch noch drinlasse erhalte ich beim Produkt von Schnittkrümmungen wiederum eine Abhängigkeit von der Dimension als Exponent beim Radius.
Da die Ausgangsfrage so diffus war hat mein Posting als erstes einmal auf diese Ungenauigkeiten hingewiesen. Aber natürlich bleibt, wie auch schon erwähnt, bei geeigneter Normierung die Krümmung der Einheitskugel immer 1.
Ciao, Holger
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Hallo Holger,
Ergo: Krümmung bleibt kraft des immerwährend gleichen
Radiusses gleich.Gruß
Hallo Oliver,
im wesentlichen stimmt diese Aussage natürlich, aber nicht in
dieser Allgemeinheit. AFAIK sind die Normierungsgrößen nicht
immer die selben, d.h. man kann durchaus auf Artikel treffen
die mit der Summe der Hauptkrümmungen arbeiten, eine Größe die
auch Sinn macht und nur ein Vielfaches der Skalarkrümmung ist,
aber der Faktor ist abhängig von der Dimension. Außerdem ist
in der Ausgangsfrage nur von einer Kugel mit konstantem Radius
die Rede, nicht notwendig 1. Wenn ich den Radius aber auch
noch drinlasse erhalte ich beim Produkt von Schnittkrümmungen
wiederum eine Abhängigkeit von der Dimension als Exponent beim
Radius.
Da die Ausgangsfrage so diffus war hat mein Posting als erstes
einmal auf diese Ungenauigkeiten hingewiesen. Aber natürlich
bleibt, wie auch schon erwähnt, bei geeigneter Normierung die
Krümmung der Einheitskugel immer 1.
Da hast du natürlich auch recht. Mir ist gerade eben erst gekommen, man könnte ja auch so spitzfindig sein und sagen: die Krümmung ist ja abhängig von der Metrik. Wenn ich unterschiedliche Mannigfaltigkeiten mit unterschiedlichen Metriken einführe, kann ich jederzeit dafür sorgen, daß entsprechende Krümmungswerte gleich bleiben.
Aber naja. Sei’s drum.
Viele Grüße
Oliver
Hallo Oliver,
Da hast du natürlich auch recht. Mir ist gerade eben erst
gekommen, man könnte ja auch so spitzfindig sein und sagen:
die Krümmung ist ja abhängig von der Metrik.
stimmt, die habe ich nur einfach als die induzierte Metrik angenommen. 
Wahrscheinlich ist hier wieder das alte Vorurteil mit im Spiel: der Physiker sucht das Gesetz um den Regelfall abzudecken, der Mathematiker sucht die pathologische Ausnahme. (Und ich liebe Ausnahmen :->:wink:
Ciao, Holger