Kubikwurzel - Aufgabe für Achtklässler

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo Forumsgemeinde,

ich habe einen Artikel in der Rheinischen Post vom 6. März über eine Lernstandserhebung der Gymnasien in Mathematik gelesen.

Nach Medienberichten scheiterten bei einem bundesweiten Pilottest 98 Prozent der Schüler und ich kann den Rechenweg auch noch nicht nachvollziehen, habe mich daran versucht:

Konkret sollte nach Angaben des Schulministeriums angegeben und hergeleiter werden, um wie viel sich die Oberfläche eines Würfels verringert, wenn sein Volumen um 27 Prozent schrumpft (richtige Lösung sei 19 Prozent).

Versuch: 3Wurzel aus 27 ist 3. Aber 3 x 6 Seiten des Würfels ergibt 18.

Also weiss jemand wie man die 19 ausrechnet?

LG
Lara

#2

Konkret sollte nach Angaben des Schulministeriums angegeben
und hergeleiter werden, um wie viel sich die Oberfläche eines
Würfels verringert, wenn sein Volumen um 27 Prozent schrumpft
(richtige Lösung sei 19 Prozent).

Versuch: 3Wurzel aus 27 ist 3. Aber 3 x 6 Seiten des Würfels
ergibt 18.

Was machst du da überhaupt? Warum ziehst du die dritte Wurzel aus 27? Weil es passt? Außerdem ist die dritte Wurzel aus 27% nicht 3.

Das verkleinerte Volumen beträgt 0,73 des Ausgangsvolumens. Die dritte Wurzel von 0,73 ist die Verkleinerung der Seitelänge. Wenn man die quadriert, hat man die Flächenänderung:
(0,73)^(2/3) ist ungefährt 0,81. D.h. die Fläche wurde um etwa 0,19=19% verkleinert.

Siehe auch:
Auf einem Schiff befinden sich 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?

Erst überlegen, dann nachrechnen.

mfg,
Ché Netzer

#3

Hallo,

Konkret sollte nach Angaben des Schulministeriums angegeben
und hergeleiter werden, um wie viel sich die Oberfläche eines
Würfels verringert, wenn sein Volumen um 27 Prozent schrumpft
(richtige Lösung sei 19 Prozent).

Würfelvolumenformel nach „a“ auflösen: V = a^3 -> a = V^(1/3)

Würfeloberfläche: O = 6*a^2

„a“ ersetzen: O = 6* (V^(1/3))^2

Oberflächengrößen nach und vor der Volumenreduktion ins Verhältnis setzen:
O2/O1 = 6*V2^(2/3)/6*V1^(2/3)

Weil sich das Volumen um 27% reduziert ist: V2 = 0,73*V1

„V2“ ersetzen: O2/O1 = 6*( 0,73*V1 ^(2/3))/6*V1^(2/3)

Kürzen und ausrechnen ergibt:
O2/O1 = 0,73^(2/3) = 0,81…
d.h., die Oberfläche des Würfels hat sich um ca. 19% verringert.

Gruß
Pontius

#4

Hallo,

vielen Dank für die Antwort.

Ist es richtig, dass man die 0,73 hoch 2/3 nimmt, weil der Würfel Länge x Breite X Höhe hat, also drei Variablen und man nur für eine Fläche, also 1/3 den Prozentsatz braucht?

Ist vielleicht eine doofe Frage, aber mir ist es nicht ganz klar, weil ich mich schon seit über 25 Jahren nicht mehr mit höherer Mathematik befasst habe möchte ich gerne nachvollziehen, warum man die 0,73 hoch 2/3 rechnet.

LG
Lara

#5

Ist es richtig, dass man die 0,73 hoch 2/3 nimmt, weil der
Würfel Länge x Breite X Höhe hat, also drei Variablen und man
nur für eine Fläche, also 1/3 den Prozentsatz braucht?

Was soll denn das für eine Erklärung sein? Wie kommst du damit auf den Exponenten 2/3?
Und wie kommst du überhaupt auf 1/3?

Wie gesagt: Überlege dir erst, was du rechnen möchtest, bevor du irgendwelche Zahlen irgendwohin schreibst.

Ist vielleicht eine doofe Frage, aber mir ist es nicht ganz
klar, weil ich mich schon seit über 25 Jahren nicht mehr mit
höherer Mathematik befasst habe möchte ich gerne
nachvollziehen, warum man die 0,73 hoch 2/3 rechnet.

Abgesehen davon, dass das keine höhere Mathematik ist: Habe ich das nicht schonmal erklärt?
Die Seitenlänge geht kubisch in die Volumenformel ein, aber nur quadratisch in die Flächenformel, die Änderung also auch.
Daher potenziert man die Volumenänderung erst mir 1/3, um die Seitenlängenänderung zu erhalten. Dann mit 2, um auf die Flächenänderung zu kommen

mfg,
Ché Netzer

#6

Ist es richtig, dass man die 0,73 hoch 2/3 nimmt,

Man nimmt diesen Exponenten nicht, sondern er ergibt sich aus den Formeln für Würfelvolumen und Würfeloberfläche.
Angenommen das Volumen eines Würfels sei gegeben und du sollst den Inhalt einer Seitenfläche bestimmen.
Dann errechnest du erst die Seitenlänge des Würfels, in dem du aus dessen Volumen die 3. Wurzel ziehst -> V^(1/3), weil Länge, Breite und Höhe gleich groß sind. Anschließend quadrierst du diese Seitenlänge, also (V^(1/3))^2 = V^(2/3) = 3.Wurzel aus V^2, weil die Seitenfläche ein Quadrat ist und erhältst damit ihren Flächeninhalt.

und man nur für eine Fläche, also 1/3 den Prozentsatz braucht?

Das verstehe ich nicht.

möchte ich gerne nachvollziehen, warum man die 0,73 hoch 2/3 rechnet.

Was ist denn so unverständlich an meiner Rechnung?