Hallo,
ich soll mathematisch beweisen, dass die kürzeste Verbindung zweier Punkte in der Ebene eine Gerade ist.
Ich soll das ganze OHNE Variatiosrechnung beweisen… geht das überhaupt??
Gruß
OLIVER
Verpass der Ebene eine hyperbolische Metrik, dann sind’s Halbkreise. Im Ernst: Ich fuerchte nein, jedes Argument, welches Spiegelung oder aehnliches verwendet, riskiert auf einem Zirkelschluss zu basieren.
Wenn man die Aufgabe ernst nimmt, muss man erstmal fragen, wie man Laengen misst, also sind wir bei rektifizierbaren Kurven und dem Integral des Linienelements, und dann kann man auch die Variationsrechnung ins Feld fuehren. Wenn Du sie kennst, kannst Du auch die Jensensche Ungleichung verwenden, um zum Minimum zu gelangen.
Also, was von obigem macht fuer Dich ueberhaupt Sinn, was kam in den letzten Wochen thematisch in der Vorlesung dran?
Ciao Lutz
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Hallo,
Verpass der Ebene eine hyperbolische Metrik, dann sind’s
Halbkreise. Im Ernst: Ich fuerchte nein, jedes Argument,
welches Spiegelung oder aehnliches verwendet, riskiert auf
einem Zirkelschluss zu basieren.Wenn man die Aufgabe ernst nimmt, muss man erstmal fragen, wie
man Laengen misst, also sind wir bei rektifizierbaren Kurven
und dem Integral des Linienelements, und dann kann man auch
die Variationsrechnung ins Feld fuehren. Wenn Du sie kennst,
kannst Du auch die Jensensche Ungleichung verwenden, um zum
Minimum zu gelangen.
Also, was von obigem macht fuer Dich ueberhaupt Sinn, was kam
in den letzten Wochen thematisch in der Vorlesung dran?
Das Thema ist Kurvenintegrale im Komplexen und wir haben eigentlich bisher nur die ganzen auf C umgemünzten Hauptsätze für Kurvenintegrale eingegführt und eben „Länge eines Weges in C“ definiert.
Aber ich denke, ich mach den Beweis jetzt einfach über Variationsrechnung; immerhin such ich ja unter allen Funktionen (hier: Kurven) eine einzige Klasse heraus, für die eine Abbildung (hier: Länge des Weges) minimal wird.
Und das ist doch eine typische Aufgae für: „Variations Man“!
Ich hätt halt gedacht, dass es in diesem Fall noch anders geht… glaub es jetzt aber nicht mehr!
Danke für die Antwort und Gruß
OLIVER
Hi Oliver,
ich habe mal in meinen Unterlagen geforscht…
Hauptsatz 31, SS Köln 84, Prof. Dombrowski
p, q, e R^n, p ungl. q
Beh. Minimum wird für //p-q// angenommen, d.h. für lineare Umparametrisierungen des Weges [0,1]->R^n angenommen (d.h. für Geraden
Beweis:
Definiere Einheitsvektor e, mit p=le+q
dann ist //p-q//=//le//=l=
q=p+e
Sei C:[a,b]->R^n ein p mit q verbindender C^1-Weg,
also C(a)=p, C(b)=q
Betrachte dann g(t)=p+, d.h. die orthogonale Projektion von c in die Gerade p+Re
Dann ist g mit C ein C^1-Weg und verbindet auch p mit q (Beweis trivial durch Einsetzen)
Ferner: g´=e
d.h. /g´(t)/=//*//e///dx >=
(Int von a bis b)dx =
(Senkrechter Strich unten a oben b) =
- = = =//q-p// q.e.d.
War’s das was du suchtest?
Max
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