Wir haben seit geraumer Zeit Vektoren in Mathe und meine Lehrerin hat gesagt das wir nicht die Abstandsberechnung zweier Windschiefer geraden im Raum behandeln werden. aber ich wüßte gern wie das geht. das erspart mir dann ne anzahl verschiedener Methoden. ^^
Danke schonmal im Vorraus
Wie der Titel dieses Artikels bereits verrät wüst ich gern wie man den Kürzesten Abstand zweier Windschiefer Geraden im Dreidiminsionalenraum errechnet.
Versteht sich natürlich per Vektoren. ^^"
sagen wir
„Vektor a“ = va
„Vektor b“ = vb
„Stützvektor von a“ = sa
„Stützvektor von b“ = sb
gerade g: (xg) = (sa) + t*(va)
gerade h: (xh) = (sb) + s*(vb)
„Kürzester abstand“ = d
Wir gehen jetzt einfach mal pauschal davon aus,
das beide sich nicht schneiden und
nicht Paralel verlaufen. ^^
ich weiß ich brauch die zwei Senkrechten von „va“ und „vb“,
die ich jetzt mal als „na“ und „nb“ namentlich definiere.
Aber wie bekomme ich nun herraus wie groß der kleinste Abstand ist?
hi,
eine lösung mit differenzialrechnung hast du ja schon. aber das ist ja nicht, was du suchst.
Wie der Titel dieses Artikels bereits verrät wüst ich gern wie
man den Kürzesten Abstand zweier Windschiefer Geraden im
Dreidiminsionalenraum errechnet.
Versteht sich natürlich per Vektoren. ^^"
sagen wir
„Vektor a“ = va
du meinst: richtungsvektor der geraden a bzw. g
???
Wir gehen jetzt einfach mal pauschal davon aus,
das beide sich nicht schneiden und
nicht Paralel verlaufen. ^^
parallel
es gibt mehrere methoden; je nachdem, wie viel vektoreninventar dir zur verfügung steht.
eine ist: du legst z.b. durch die gerade a eine ebene, die parallel zur geraden b ist: in deiner terminologie:
(xg) = (sa) + t*(va) + s*(vb)
du berechnest die normalvektorform dieser geraden (entweder durch das kreuzprodukt (va) x (vb) = (vn) oder durch eliminieren der variablen t und s und hast dann
(vn).(xg) = (vn).(sa)
bzw.
ax + by + cz = d
also eine gleichung in 3 variablen dieser ebene.
also:
ax + by + cz - d = 0
und
(ax + by + cz - d)/Wurzel(a²+b²+c²) = Dist
d.h. du setzt dann irgendeinen punkt aus der geraden h bzw. b ein und bekommst den abstand.
methode:
du könntest natürlich auch in diesem punkt (sa) einen normalvektor (vn) auf die ebene generieren (z.b. durch das kreuzprodukt (va) x (vb), oder durch lösung des gleichungssystems (va).(x) = 0 und (vb).(x) = 0) und dann die normale gerade
(xn) = (sa) + u.(vn)
mit der geraden b bzw. h schneiden und dann den abstand zwischen diesem schnittpunkt und (sa) feststellen.
methode:
das kreuzprodukt gibt dir auch einen direkten zugang zum abstand:
| ((sa)-(sb)) . ((va) x (vb)) |
Dist = -------------------------------
|(va) x (vb)|
Du richtest einen Vektor von
gx nach hx: (hx-gx)
dessen Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor gx muss 0 sein und umgekehrt. 2 Gleichungen 2 Unbekannte, die Laufparameter der Geraden (t,s):
(hx-gx).va = 0
(hx-gx).vb = 0
lösen. Ergibt die LotFusspunkte des Abstandes auf den Geraden LFhx und LFgx. Betrag des Vektors LFhx-LFgx ergibt den Abstand…
Du kannst durch eine der Geraden eine Ebene so legen, dass die andere parallel zu dieser Ebene ist. Kannst Du Dir das räumlich vorstellen? OK - dann berechnest Du einfach den Abstand dieser Ebene zu einem Punkt der anderen Geraden. Vielleicht habt Ihr ja dieses Thema behandelt, auch da gibt es mehrere Möglichkeiten.
Diese Ebene aufzuschreiben ist auch nicht schwer. Einen Stützvektor hast Du, und als Spannvektoren kannst Du die beiden Richtungsvektoren der Geraden nehmen. Deren Kreuzprodukt wäre auch ein Normalenvektor der gesuchten Ebene.
Es gibt für sowas immer mehrere Varianten - wichtig ist, dass Du Dir das ganze gut vorstellen kannst.