Kugel durch vier Punkte im Raum eindeutig bestimmt

Wissenschaft Physik
#1

Hallo zusammen,

ich würde gerne den Mittelpunkt einer Kugel bestimmen, in dem ich vier Punkte im Raum nehme, von denen ich sicher weiß, daß sie auf einer Kugeloberfläche liegen. Aus der Kreisgleichung

(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=r^2

erhalte ich vier Unbekannte (x0, y0, z0, r) ! Dann müßten meiner Meinung nach vier Gleichungen (entspricht vier Punkten) ausreichen um die Lösung zu erhalten. Ich hab’ das analytisch umgestellt und in C++ implementiert, aber die Ergebnisse sind nicht immer eindeutig. Hat vielleicht jemand eine Erklärung oder selbst ein Programm ???

Danke für Eure Hilfe !!!

Daniel

#2

Im Prinzip ist das schon richtig, aber es gibt da einige Sonderfälle, bei denen es nicht funktioniert. Anschaulisch ist das leicht zu verstehen:
Wenn ich 3 Punkte habe, kann ich einen Kreis definieren. Mit dem 4. Punkt ist dann die Kugel eindeutig festgelegt. Wenn allerdings der 4. Punkt in der Kreisebene liegt, bekomme ich keine Kugel. Das gleiche gilt auch, wenn die 3 Punkte, die den Kreis definieren sollen auf einer Geraden liegen.
Das Gleichungssystem ist also nicht oder nicht eindeutig lösbar, wenn alle Punkte in einer Ebene liegen oder 3 beliebige Punkte auf einer Geraden.
In allen anderen Fällen sollte es, wenn ich nichts vergesen habe, eine eindeutige Lösung geben.

Jörg

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

#3

Das Gleichungssystem ist also nicht oder nicht eindeutig
lösbar, wenn alle Punkte in einer Ebene liegen oder 3
beliebige Punkte auf einer Geraden.

Wobei bei letzterem die Gerade und der vierte Punkt auch wieder eine Ebene definieren, die alle Punkte enth"alt. Test "uber die Determinante von

|1 x\_1 y\_1 z\_1|
|1 x\_2 y\_2 z\_2|
|1 x\_3 y\_3 z\_3|
|1 x\_4 y\_4 z\_4|

ist diese Null, dann liegen alle Punkte in einer Ebene. Diese Determinante sollte auch irgendwo als Nenner auftauchen, so dass sie eh berechnet werden muss.

Ciao Lutz