Kugelschalen und Potentialoptimierung;-)

Wissenschaft Physik
1

Hallo Wissende,

ich habe mir gestern (fragt nicht warum) folgende Frage gestellt:

Man habe eine unendliche Oberfläche von begrenzter Größe (sprich: eine Kugel). Darauf befinden sich frei und reibungslos bewegliche „Ladungs“-Träger unterschiedlicher Stärke, die sich voneinander abstoßen. D.h. jedes Paar von Ladungsträgern hat seine eigene Abstoßungskraft.

Wenn man startet (also diese Ladungsträger beliebig anordnet), würden sich die Ladungsträger möglichst weit voneinander entfernen wollen. Als Endergebnis (meines Erachtens ein stabiles Gleichgewicht) würde also ein Zustand möglichst großer Entfernungen (in Bezug auf die Kraftgröße) entstehen.

Jetzt meine Frage: Gibt es nur 1 solches Gleichgewicht für beliebige Systeme oder mehr als 1 (wobei ich verschobene oder gespiegelte Nachbarschafts-Anordnungen als identisch ansehe)?

Also bei einer überschaubaren Anzahl von Ladungsträgern (3-5) würde ich davon ausgehen, dass es nur 1 prinzipiell optimale Anordnung gibt.
Wenn es aber mehr werden, muss ich sagen, dass mich mein Gefühl bei der Frage verlässt, ob es nicht vielleicht mehrere stabile, lokale Optima gibt (was bei endlicher Fläche IMHO sofort ersichtlich ist, da es dann nur darauf ankommt, welche Ladungsträger als erstes die Randpositionen einnehmen)

Wer weiß was?

Grüße
Jürgen

2

eigenartige Betrachtung

Hallo Wissende,

ich habe mir gestern (fragt nicht warum) folgende Frage
gestellt:

Man habe eine unendliche Oberfläche von begrenzter Größe
(sprich: eine Kugel). Darauf befinden sich frei und
reibungslos bewegliche „Ladungs“-Träger unterschiedlicher
Stärke, die sich voneinander abstoßen. D.h. jedes Paar von
Ladungsträgern hat seine eigene Abstoßungskraft.

Was verstehst du darunter? Unterschiedliche Ladungsträger ziehen sich bekanntlich an. Gibt es solch ein System in der Realität zum Vergleich?

Gruß
Frank

3

abstrakter
Hallo Frank,

stell Dir folgendes vor:

Du hast einen Haufen von autistischen Einzelgängern auf einem Planeten. Jeder will jedem möglichst aus dem Weg gehen, wobei es dabei Abstufungen bei der Abneigung gibt.
Wie würden sich die Personen dann auf dem Planeten verteilen?

Das selbe könntest Du natürlich auch mit Attraktion machen: Alle haben sich in Abstufungen lieb und ziehen sich gegenseitig an. Wann sind alle optimal glücklich?

Das sind eigentlich ganz beliebte Aufgaben aus dem Operations Research… (z.B. eine Essensgesellschaft möglichst optimal um einen runden Tisch positionieren:wink:)

Verständlicher?

Grüße
Jürgen

4

Hallo Jürgen,

ich denke, das kann man so nicht betrachten, eben wegen der Liebhabensnuancen.
Da käme auch wieder die Betrachtung der Antagonismen in Betracht. Es gibt also exakt einen, der sich am allerwenigsten mit den anderen verträgt sowie einen, der alle „mag“. Diese Antagonismen durchdringen sich beim Rest wieder gegenseitig. Sprich - je nach Entwicklungszustand ist so ziemlich alles möglich, es kommt auf die Umstände an.

Gruß
Frank

5

Hallo Jürgen,

oberhalb einer bestimmten Anzahl von Ladungen gibt es stets mehrere lokal stabile Konfigurationen.

Ich reduziere Dein Beispiel mit der Kugel auf einen Ring. Befinden sich auf einem Ring genau eine oder genau zwei Ladungen, ist die Sache trivial: Es gibt nur eine Konfiguration. Bei drei Ladungen kannst Du Dir durch Aufmalen auf ein Stück Papier…

~ 2 
~ / \
~ / \
~ 3 --- 1

…leicht klarmachen, daß es auch hier nur eine Konfig gibt. Du kannst die „1“, „2“ und „3“ durchpermutieren bis es denen schwindlig wird, es kommt dabei nie etwas heraus, was sich nicht durch Drehung oder Spiegelung in die oben dargestellte Anordnung überführen läßt.

Bei vier Ladungen sieht die Sache jedoch anders aus! Hier gibt es genau drei „Grund-Anordnungen“, die nicht zueinander „enantiomorph“ sind, und zwar diese:

~ 3 --- 2 2 --- 3 4 --- 3
~ | | | | | |
~ | | | | | |
~ 4 --- 1 4 --- 1 2 --- 1

Sofern keine zwei Ladungen gleich stark sind, wird sich für jede dieser drei Grundkonfigurationen ein eigenes Positionsbild ergeben, wenn die Ladungen schließlich ihre Gleichgewichtslagen gefunden haben.

Nun zu Deiner Kugel. Hier kann man sich klarmachen, daß sich für bis zu einschließlich vier Kugeln immer nur eine Grundkonfig gibt, und ab fünf Kugeln mehrere.

Interessant wäre noch die Frage, wieviele Grundkonfigs es allgemein gibt für n Kugeln auf einem Ring (n = 1, 2, 3: #Grundkonfigs = 1; n = 4: #Grundkonfigs = 3; n > 4: #Grundkonfigs = ?) bzw. einer Kugel (n = 1, 2, 3, 4: #Grundkonfigs = 1; n > 4: #Grundkonfigs = ?). Darauf weiß ich leider auch keine Antwort.

Ich hoffe, ich konnte Dir helfen.

Mit freundlichem Gruß
Martin

6

kann man durchaus:wink:
Hallo Frank,

ich denke, das kann man so nicht betrachten, eben wegen der
Liebhabensnuancen.

Wie gesagt, das sind übliche Aufgaben im OR-Umfeld und können natürlich so betrachtet werden. Nimm von mir aus Automkerne verschiedener Elemente und ordne sie auf der Kugelschale an…

Da käme auch wieder die Betrachtung der Antagonismen in
Betracht. Es gibt also exakt einen, der sich am allerwenigsten
mit den anderen verträgt sowie einen, der alle „mag“. Diese
Antagonismen durchdringen sich beim Rest wieder gegenseitig.
Sprich - je nach Entwicklungszustand ist so ziemlich alles
möglich, es kommt auf die Umstände an.

Das ändert nichts an dem sich einstellenden IMHO stabilen Gleichgewicht. Und auch nichts an meiner Frage, ob es nur 1 Optimum gibt oder viele lokale Optima…

Grüße
Jürgen

7

Hallo Jürgen,

Das selbe könntest Du natürlich auch mit Attraktion machen:
Alle haben sich in Abstufungen lieb und ziehen sich
gegenseitig an. Wann sind alle optimal glücklich?

nein, mit der Attraktion geht es nicht! „Optimal glücklich“ sind alle, wenn sie einfach aufeinanderpappen. Wenn Du statt geladene Kugeln solche ohne Ladung aber dafür mit Masse nimmst, so daß sich alle gegenseitig anziehen, dann werden sie sich alle irgendwo zusammenfinden, dort einen Klumpatsch bilden und das war’s. Wo genau sich der Klumpatsch befinden wird, ist unbestimmt, da dann ein indifferentes Gleichgewicht vorliegt.

Mit freundlichem Gruß
Martin

8

viel mehr Konstellationen
Hi Martin

nein, mit der Attraktion geht es nicht!
„Optimal glücklich“ sind alle, wenn sie einfach aufeinanderpappen.

Das ist nicht richtig. Sie sind nicht nur dann glücklich, wenn sie aufeinanderpappen. Es gibt sogar noch viel mehr Gleichgewichtslagen, als du sie für den repulsiven Fall oben beschrieben hast: Allerdings ist der „Klumpatsch“ die einzige stabile Gleichgewichtslage. (Daß diese wiederum bezüglich ihres Ortes auf der Sphäre indifferent ist, ändert daran nichts, denn das gilt für jede andere Konstellation ja auch)

Zunächst sind da alle Konstellationen wie im repulsiven Fall. Allerdings sind diese im instabilen Gleichgewicht - eine infinitesimale Störung von nur einer einzigen Ladung erzeugt einen Symmetriebruch, der zu einer neuen Lage führen wird. Diese muß aber nicht ein komplettes gangbang sein, denn es können ja auch lediglich Teilmengen der Ladungen kopulieren und die Restmengen mit diesen Teilklumpatschen wiederum andere instabile Konstellationen bilden. Die Menge solcher Lagen im instabilen Gleichgewicht sollte die Potenzmenge der Ladungen sein, wenn ich es gerade recht überblicke …

Grüße

Metapher

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9

Hallo Frank,

ich denke, das kann man so nicht betrachten, eben wegen der
Liebhabensnuancen.

Wie gesagt, das sind übliche Aufgaben im OR-Umfeld und können
natürlich so betrachtet werden. Nimm von mir aus Automkerne
verschiedener Elemente und ordne sie auf der Kugelschale an…

Wie es Metapher oben gerade beschrieb, gelten wohl doch die Bewegungsgesetze.
Es wird sichj ein relativer Gleichgewichtstzuzstand einstellen, der sich hin und her verschiebt, bis er umschlägt. Hier kommt es wirklich aufs Detail an.

Gruß
Frank

10

Hast ja recht, es ist eindeutig zu heiss heute:wink:
Hallo Martin,

nein, mit der Attraktion geht es nicht!
„Optimal glücklich“ sind alle, wenn sie einfach
aufeinanderpappen. Wenn Du statt geladene Kugeln solche ohne
Ladung aber dafür mit Masse nimmst, so daß sich alle
gegenseitig anziehen, dann werden sie sich alle irgendwo
zusammenfinden, dort einen Klumpatsch bilden und das war’s.
Wo genau sich der Klumpatsch befinden wird, ist unbestimmt, da
dann ein indifferentes Gleichgewicht vorliegt.

Zugegebenermaßen war das ein bisschen undurchdacht:wink:

Grüße
Jürgen

11

Ringe und Kugeln
Hallo Martin,

Nun zu Deiner Kugel. Hier kann man sich klarmachen, daß sich
für bis zu einschließlich vier Kugeln immer nur eine
Grundkonfig gibt, und ab fünf Kugeln mehrere.

Wo ich Vorstellungsprobleme habe ist folgendes:
Beim klassischen Tischbeispiel ist es klar, dass alle Grundkonfigurationen stabil sind, da eine Anpassung über einen Platztausch nicht möglich ist.
Wenn ich jetzt allerdings den Platztausch zulasse, dann fallen IMHO Konfigurationen als Lösungen weg (z.B. -x-1-2-3-4-y- 1 hat eine sehr viel größere Abstoßung gegenüber 2 als gegenüber 3 und 4 hat eine sehr viel größere Abstoßung gegenüber 3 als gegenüber 2 während 2 und 3 rel. neutral sind => stabil wäre allein -x-1-3-2-4-y-) Wenn das aber möglich ist, wie viele stabile Optima gibt es nun?

Und hier fängt mein Problem an: Inwieweit können bei der Kugel (die ja einen freien Ausgleich über 2 Dimensionen erlaubt und damit in der Regel ja auch den Platztausch) Grundkonfiguration als instabil ausgeschlossen werden…

Grüße
Jürgen

12

Fallunterscheidungen
Hi Jürgen

unterschiedliche Ladungsen werden sich bei den Überlegungen von Martin lediglich in den relitiven Abständen bemerkbar machen. Bei gleichen Ladungen werden sich bis zu n = 20 regelmäßige „Körper“ bilden (Pentagondodekaeder hat 20 Ecken), und diese werden bei ungleichen Ladungen lediglich deformiert. Die Permutationen der Orte sind davon unabhängig.

Interessant wird es auch im Falle gleicher Ladungen bei n > 20, da es dann (aus geometrischen Gründen) keine regelmäßigen Körper mehr gibt, bei denen alle Abstände gleich sind. Da dann Potentialgefälle auftauchen, sind diese Konstellationen nicht mehr stabil, sondern instabil. D.h. sie können bei infinitesimalen Störungen in eine andere Konstellation umkippen.

Um Mißverständnisse zu vermeiden: instabiles Gleichgewicht hat z.B. eine Kugel auf der Spitze eines idealen Sektflaschenbodens: Sie bleibt nur im mathematischen Ideal dort liegen, weil alle Richtungen, in die sie herunterrollen könnte, gleich wahrscheinlich sind: Sie sind symmetrisch. Eine beliebig kleine Störung verursacht dann einen Symmetriebruch und die Kugel rollt in eine Richtung nach unten.

Auf einer ebenen Tischplatte hätte eine Kugel dagegen sog. indifferentes Gleichgewicht (das Martin schon erwähnte), d.h. alle Lagen sind gleichwertig.

Gruß

Metapher

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13

Hi Juergen,

würdest Du sagen es seien gleiche Ladungsträger (z.B. Elektronen) wäre meine Antwort ein spontnes ‚Ja‘

Du sprichst aber von

„Ladungs“-Träger unterschiedlicher
Stärke, die sich voneinander abstoßen. D.h. jedes Paar von
Ladungsträgern hat seine eigene Abstoßungskraft.

Hier würde ich spontan von sehr vielen unterscheidbaren Gleichgewichten ausgehen, die mit Sicherheit nicht statisch sind.
Statisch wären die Zustände wohl nur bei 0 K
Berechenbar wäre solch ein Vorgang wohl mit den Regeln der nichtlinearen Dynamik (Chaostheorie), aber es wäre sicher ein recht großer Aufwand.
Andererseits drängt sich mir ein Vergleich mit dem Vielkörperproblem auf, das bekanntermaßen nicht algebraisch zu lösen ist.

aber mathematisch korrekt kann ich das nicht begrgünden, es ist eine Vermutung aus dem hohlen Bauch heraus.

Gandalf

14

Hi Metapher,

unterschiedliche Ladungsen werden sich bei den Überlegungen
von Martin lediglich in den relitiven Abständen bemerkbar
machen. Bei gleichen Ladungen werden sich bis zu n = 20
regelmäßige „Körper“ bilden (Pentagondodekaeder hat 20 Ecken),
und diese werden bei ungleichen Ladungen lediglich
deformiert. Die Permutationen der Orte sind davon
unabhängig.

Aber meine Frage war eben, ob sich über die Möglichkeit des Platztausches in dem „schwimmenden“ System in jedem Fall das absolute Optimum einstellt oder ob es mehrere lokale, aber „stabil“-indifferente GGW-Lösungen gibt. Auf jeden Fall ist meines Erachtens nicht jede beliebige Nachbarschaft (Tausch zweier Ladungsträger in einer GGW-Position) „stabil“, sondern wird im Falle sehr unterschiedlicher Abstoßungskräfte umspringen… Aber mittlerweile denke ich auch, dass es einige Lösungen gibt, da ein Tausch ladungsähnlicher Träger wieder „stabil“ sein müßte. Wobei vermutlich die Anzahl der Lösungen nicht einfach ermittelbar ist.

Das ändert natürlich nichts daran, dass wir hier in jedem Fall einen verformten n-Ecker erhalten.

Interessant wird es auch im Falle gleicher Ladungen bei n >
20, da es dann (aus geometrischen Gründen) keine regelmäßigen
Körper mehr gibt, bei denen alle Abstände gleich sind.
Da dann Potentialgefälle auftauchen, sind diese
Konstellationen nicht mehr stabil, sondern instabil. D.h. sie
können bei infinitesimalen Störungen in eine andere
Konstellation umkippen.

War mir nicht bewußt, wieder was gelernt:wink:

[GGWs]
Ist mir ein Begriff, ich dachte aber, dass es leichter mit stabiler Lage erklärt ist als mit indifferenter:wink:

Grüße
Jürgen

15

Toller Vergleich
Hallo Jürgen,
finde den Vergleich ja echt super, aber biste mit dieser Darstellung tatsächlich im richtigen Brett?
Gruß *wink* Daggi

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

16

Hallo,
ich könnte mir vorstellen, daß es
a) mehrere stabile Zustände gibt
b) entscheidend ist, wo sich die Teilchen beim Start aufhalten.

Die Teilchen sind nicht intelligent und kennen daher den optimalen Endzustand gar nicht. Deshalb halte ich es sogar für unwahrscheinlich, daß sie ihn erreichen. So wird ein Teilchen auf dem Weg zu seinem angestrebten Ziel von einem dabei passierten Teilchen abgelenkt, durch 2 eng beieinanderstehende Teilchen vielleicht sogar aufgehalten.
Weist für mich auf ein chaotisches System hin. Dessen Endzustand wg. mehrerer (nicht mal vollständig definierbarer) Möglichkeiten nicht bestimmbar ist. Allenfalls durch Wahrscheinlichkeitsrechnung. Aber ich glaub nicht, daß das schonmal gelöst worden ist. Erst recht nicht so allgemein, wie Du hier die Aufgabe gestellt hast (beliebige Anzahl, unterschiedliche Ladungen/Größen, beliebige Startpositionen). Diese Aufgabenstellung halte ich für unlösbar.

Axel

17

Hi Gandalf,

Andererseits drängt sich mir ein Vergleich mit dem
Vielkörperproblem auf, das bekanntermaßen nicht algebraisch zu
lösen ist.

aber mathematisch korrekt kann ich das nicht begrgünden, es
ist eine Vermutung aus dem hohlen Bauch heraus.

Mein Bauch hat mir mittlerweile ähnliches berichtet:wink: Ich habe es mit ladungstechnisch ähnlichen Nachbarschaftslösungen versucht zu erklären und bin ebenfalls der Meinung, dass die Anzahl der Lösungen nicht einfach zu bestimmen ist.

Grüße
Jürgen

18

nicht chaotisch

… in jedem Fall das absolute Optimum einstellt oder ob es mehrere lokale, aber „stabil“-indifferente GGW-Lösungen gibt.

es ist schon möglich, daß es „chaotische“ Lösungen gibt, wenn mehr als 3 körper dabei sind, da es sich dann ja um nichtlineare dynamische Systeme handelt. Das aber nur unter der Voraussetzung, daß die Körper Anfangsimpulse von außen mitbekommen!

Ansonsten gibt es (je nach Fallunterscheidung - siehe anderes Posting), eindeutige Potentialverteilungen - auch, wenn es nicht einfach ist, diese zu bestimmen.

[GGWs]
Ist mir ein Begriff, ich dachte aber, dass es leichter mit
stabiler Lage erklärt ist als mit indifferenter:wink:

Stabiles GGW stellt sich immer bei einem Potential topf ein. Bei einem Potential buckel gibt es einen Punkt mit instabilem (d.h. infintesimal störbarem) GGW. Indifferent ist GGW nur bei einem flachen Potential.

Gruß

Metapher

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