Hallo, Gemeinde.
Ich muss doch feststellen, dass so einiges mit dem Alter nachlässt.
So z.B. der Zusammenhang zwischen Kreisfläche und Kugelvolumen. Die Formeln A=r²π sowie V=4/3r³π sind mir noch geläufig, nur bekomme ich die Integration nicht mehr hin …
Die Kugel ist doch der Rotationskörper zum Kreis. Ergo müsste ich r²π integrieren und komme auf 1/3r³π für die Halb- und 2/3r³π für die Vollkugel, was ja wohl recht falsch ist. Wo ist mein Denkfehler? Bitte vom Schlauch schubsen …
Danke im Voraus
Eillicht zu Vensre
Hallo Eillicht.
So z.B. der Zusammenhang zwischen Kreisfläche und
Kugelvolumen. Die Formeln A=r²π sowie V=4/3r³π sind
mir noch geläufig, nur bekomme ich die Integration nicht mehr
hin …
Die Oberflaeche der Kugel betraegt 4*π*r2. Wenn Du diese Formel nach r integrierst, dann kommt das Volumen heraus.
Entsprechend haengen auch die Formeln fuer Flaeche und Umfang des Kreises zusammen. Wenn Du den Umfang 2*π*r integrierst, dann kommt die Flaeche π*r2 heraus.
Sind das die gesuchten Zusammenhaenge?
Gruss,
Klaus
MOD: HTML-codes korrigiert
Hallo alter Mann 
ich glaube mich aus meinen Jungen Tagen daran zu erinnern, dass sich das Rotationsvolumen einer Funktion f(x) nach folgender Formel berechnet:
V = π*Integral( f(x)² )dx
Für die Kugel ist die Funktion der Halbkeis:
f(x) = Wurzel(r²-x²)
also
V = π*Integral( Wurzel(r²-x²) )dx in den Grenzen -r…+r
V = π*Integral( r²-x² )dx
V = π*[xr²-1/3x³]-r…+r
V = π*[(r³-1/3r³) - (-r³+1/3r³)]
V = π*[2r³ - 2/3r³]
V = π*[4/3r³]
V = 4/3*π*r³
Bleibt natürlich die Frage, warum ist V = π*Integral( f(x)² )dx ? - Das weiß ich leider nicht mehr 
LG
Jochen
hi,
V = π*Integral( f(x)² )dx
richtig.
Für die Kugel ist die Funktion der Halbkeis:
f(x) = Wurzel(r²-x²)
also
V = π*Integral( Wurzel(r²-x²) )dx in den Grenzen -r…+r
hier fehlt in der notation das quadrat der wurzel; du rechnest es aber mit, wenn du schreibst:
V = π*Integral( r²-x² )dx
V = π*[xr²-1/3x³]-r…+r
V = π*[(r³-1/3r³) - (-r³+1/3r³)]
V = π*[2r³ - 2/3r³]
V = π*[4/3r³]
V = 4/3*π*r³
Bleibt natürlich die Frage, warum ist V = π*Integral(
f(x)² )dx ? - Das weiß ich leider nicht mehr
ich schon.
du teilst ein rotationsvolumen auf in die summe von schmalen scheiben. deren sich verändernder radius ist f(x). so eine scheibe ist ein zylinder; ihr volumen ist V = π * f(x)² * Delta(x)
wobei so ein Delta(x) die höhe des zylinders ist.
summe über solche „immer dünner werdende“ scheiben (der grenzwertprozess) ist dann
V = Summe(π * f(x)² * Delta(x)= Integral(π * f(x)² * dx)
hth
m.
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Hallo,
hier fehlt in der notation das quadrat der wurzel; du rechnest
es aber mit, wenn du schreibst:
Ja, richtig. Ich habe das ² vergessen zu tippen.
du teilst ein rotationsvolumen auf in die summe von schmalen
scheiben. deren sich verändernder radius ist f(x). so eine
scheibe ist ein zylinder; ihr volumen ist V = π * f(x)² *
Delta(x)
Heidenein! Da hätte ich durch etwas Nachdenken selbst drauf kommen müssen. *Peinlich*
Lieben Dank & LG
Jochen
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