Habe da ein Problem mit einer Mahtheaufgabe.
f(x) = (x²-18)/(x-5)
zwischen x-Achse und Graphen der Funktion kann ein Rechteck einbeschrieben werden. Gesucht sind die Koordinaten der oberen beiden Ecken, bei der der Flächeninhalt maximal wird.
Hierzu fällt mit kein Lösungsweg ein.
Hallo Steffen,
der Lösungsweg ist, sich zu überlegen, welche Höhe h und Breite b das Rechteck hat (Skizze malen ist da immer sehr hilfreich), seine Fläche A = b h als Funktion von x auszudrücken und dann das Maximum dieser Funktion A(x) durch Nullsetzen ihrer Ableitung zu bestimmen.
Gruß
Martin
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Hallo Steffen,
der Lösungsweg ist, sich zu überlegen, welche Höhe h und
Breite b das Rechteck hat (Skizze malen ist da immer sehr
hilfreich), seine Fläche A = b h als Funktion von x
auszudrücken und dann das Maximum dieser Funktion A(x) durch
Nullsetzen ihrer Ableitung zu bestimmen.Gruß
Martin
Das Problem bei dieser Aufgabe sehe ich darin, dass die beiden oberen Punkte auf dem Graphen der Funktion liegen. Somit stellt sich die Breite des Rechtecks als Differenz zwischen dem ersten und zweiten x-Wert dieser Punkte dar. Beide x-Werte haben den selben Funktionswert (die Höhe des Rechtecks). Somit muss man die Breite des Rechtecks in Form einer Gleichung für die Länge der Differenz zwischen den beiden x-Werten in die Rechteckgleichung einsetzen. Und da sterbe ich immer daran ab.
Mission Impossible???
Gruß Steffen
Hallo Steffen!
Wie Martin schon ganz richtig sagte musst Du eine Gleichung für den Flächeninhalt aufstellen, und die Nullstellen der ersten Ableitung ausrechnen um die x-Werte für ein Maximum zu finden.
Die Flächengleichung ist
A=(x2-x1) * f(x1)
dabei stört jetzt, dass man 2 x-Werte hat, nämlich x1 und x2,
aber mit der Beziehung
f(x1) = f(x2)
kannst Du die eine Variable durch die andere ausdrücken.
Du formst das also um nach x1=… (oder x2=… ) und setzt es in die Gleichung von oben (A=…) . Dann ist diese nur noch von einer Unbekannten abhängig. Nach dieser leitest Du jetzt A ab, und setzt diese Ableitung = 0. Da kommt dann diejenige Variable heraus, die in Deiner A-Gleichung noch drinstand und damit solltest Du den zweiten x-Wert sowie den Funktionswert ausrechnen können.(??)
Gruß, Flexie
Und das Umformen von f(x1) = f(x2) nach einer Variable x1 ode x2 ist m.E. nicht geschlossen machbar. Daher bin ich den Weg gegangen, die Differenz x2-x1 (quasi die Breite des Rechtecks) als Funktion auszudrücken. Aber dies ist eine never endig story und wohl iva Handrechnung nicht darstellbar. Daher bin ich auf der Suche nach alternativen Lösungsansätzen.
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Und das Umformen von f(x1) = f(x2) nach einer Variable x1 ode
x2 ist m.E. nicht geschlossen machbar. Daher bin ich den Weg
gegangen, die Differenz x2-x1 (quasi die Breite des Rechtecks)
als Funktion auszudrücken. Aber dies ist eine never endig
story und wohl iva Handrechnung nicht darstellbar. Daher bin
ich auf der Suche nach alternativen Lösungsansätzen.
Okay, dann habe ich noch folgende Vorschläge:
das Umformen ist schon machbar, nämlich indem Du diese Gleichung auf die Form (x1)²+ a (x1) + b bringst (dabei (x2) wie eine Konstante behandelst) und die p-q-Formel anwendest. Dann bekommt man zwar ganz unfeine Sachen raus aber Du müsstest es zumindest Ableiten können.
Mit der Methode von Lagrange könnte man vielleicht so ansetzen:
Du hast also Deine Formel für die Fläche in Abhängigkeit von x1 und x2
A(x1, x2) = …
Ausserdem hast Du die Nebenbedingung f(x1) = f (x2). Diese bringst Du auf die implizite Form g(x1, x2) = 0, das wäre bei Deiner Aufgabe:
g(x1, x2)=( ((x1)²-18)*((x2)-5))/( ((x2)²-18)*((x1)-5)) -1 = 0
Um jetzt ein Maximum von A unter der Nebenbedingung g zu finden muss gelten A (abgeleitet nach x1) - k*g(abgeleitet nach x1) = 0
und A (abgeleitet nach x2) - k*g(abgeleitet nach x2) = 0
Du hast dann also diese beiden Gleichungen und noch die Gleichung g, sowie die 3 Unbekannten x1, x2 und k. Da sich die Gleichungen A und g ohne weiteres Ableiten lassen, müsstest Du da zumindest ein wenig weiter kommen.
Aber im Notfall kannst Du es ja auch mal zeichnen und schauen, ob Dir dabei noch geschickte Möglichkeiten einfallen.
… wenn mir noch irgendwas einfällt oder ich Zeit habe das mal selbst zu rechnen melde ich mich.
Hi,
was Martin und Flexie schreiben, ist völlig richtig.
Allerdings begegnet man bei der operativen Lösungsfindung äusserst wüsten Termen.
Ich hab es allein deswegen aufgegeben.
Ich finde, es macht keinen Spass, wenn man kaum etwas rauskürzen kann und so viele Trümmer mit herumschleppen muss.
Gruss,
Hi
ich habe die Funkt. nicht mit x sondern mit f(x) ausgedrückt:
y=f(x)
A=g*h
h=y
g=(x2-x1)
nach umstellen der Funkt. nach x kommt da das raus:
x1 = (y/2)-wurzel((y²-20y+72)/4)
x2 = (y/2)+wurzel((y²-20y+72)/4)
g=wurzel(y²-20y+72)
A=y*wurzel(y²-20y+72)
diese Funkt. abgeleitet die Ergäbnise auf min max untersucht (mit 2.Ableitung) kommt für y = 3 raus
somit kriege ich für x1=-0,791287847 für x2 = 3,79128747 raus.
MfG
Andreas
Auch Hi,
ich habe die Funkt. nicht mit x sondern mit f(x) ausgedrückt:
…und damit die Aufgabe geknackt. Für Deine intelligente Idee hast Du Dir einen Stern (und ich Ärger darüber, daß ich nicht darauf gekommen bin) verdient.
Beste Grüße
Martin