Kurvenintegral - Grenzen verschieben -wieso/wie?

Wissenschaft Mathematik
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Hallo!

Ich habe nochmals eine Frage zu meinem Kurvenintegral.

Folgende Angabe:

f (x, y) = 1/(√x) + 1 /(√y), c(t) = (cos^2t, sin^2t), mit -π ≤ t ≤ π.

Mein Lösungsweg:

um das Kurvenintegral zu lösen wende ich folgende Formel an

Integral (f(c(t)) * |c´(t)| dt

c´(t) = -2*sint*cost, 2*sint*cost
|c´(t)| = sqrt((-2*sint*cost)^2 + (2*sint*cost)^2)) = sqrt(8*sin^2t*cos^2t)

somit habe ich alles um in die Formel einzusetzen:

Integral 1/(√cos^2) + 1 /(√sin^2) * sqrt(8*sin^2t*cos^2t) mit den Integralsgrenzen -π bis π.

wenn ich mir das alles durchrechne kommt als Ergebnis:
2*√2*(1-1) = 0

Das Ergebnis ist aber scheinbar falsch, da man die Integralsgrenzen anpassen sollte.

Meine Frage: wie/warum ändert man die Integralsgrenzen und was wären in diesem Fall die korrekten Grenzen.

Ich weiß, ist etwas viel und etwas verwirrend, aber ich hoffe es kann mir jemand auf mein Problem antworten.

LG
PiuPiu

2

Hey PiuPiu,

sieht für mich ganz danach aus, dass über eine Nullstelle drüber integriert wurde.
Die Funktion lautet vereinfacht ja nur noch:

\int_{-\pi}^{\pi} \sqrt{8}*(sin(t)+cos(t)) dt

Würd ich einfach mal Nullstellen berechnen und dann weiterschauen.

Gruß René

3

Hallo,

\int_{-\pi}^{\pi} \sqrt{8}*(sin(t)+cos(t)) dt

Würd ich einfach mal Nullstellen berechnen und dann weiterschauen.

es ist auch ohne Rechnung sofort klar, dass dieses Integral Null ist. Die Summe sin(t) + cos(t) behält zwei Eigenschaften ihrer Bestandteile: Sie schwingt ebenfalls symmetrisch um die x-Achse (wenn auch nicht mit der Amplitude 1, sondern √2; das spielt hier aber keine Rolle) und hat ebenfalls die Periode 2π. Da das Integrationsintervall nun auch 2π lang ist, befindet sich genausoviel Integrationsfläche oberhalb wie unterhalb der x-Achse ⇒ Integral = 0.

Gruß
Martin

4

Hallo!

Ich habe nochmals eine Frage zu meinem Kurvenintegral.

Folgende Angabe:

f (x, y) = 1/(√x) + 1 /(√y), c(t) = (cos^2t, sin^2t), mit -π ≤
t ≤ π.

Meine Frage: wie/warum ändert man die Integralsgrenzen und was
wären in diesem Fall die korrekten Grenzen.

Hi Piu !

Hast du dir die Kurve c(t) mal angeschaut ? Falls nicht mach das mal, dann wirst du sehen, dass man da einen Weg zweimal hin und her geht, nämlich von (1|0) nach (0|1) und zurück. D.h. man integriert paraktisch über c(t) von -&pi bis -&pi /2, dann von -&pi /2 bis 0 - was genau der Rückweg von vorher ist -, dann von 0 bis &pi /2 und dann von &pi /2 bis &pi - was wieder der Rückweg von vorher ist.
Das Teilintegral über den Rückweg ist natürlich genau das Negative vom Teilintegral über den Hinweg, deshalb ist klar, dass sich am Ende alles zu 0 addiert.

Gruß

hendrik

5

Hallo!

Ich danke euch für eure antworten. Wenn ich mir c(t) verbildliche, dann scheint es mir logisch :smile:

Doch noch einmal zu meiner Frage: Wieso und wie muss ich Integralsgrenzen verschieben?

Vielen Dank für eure Erklärungen

Lg
PiuPiu