Kurvenintegral

Wissenschaft Mathematik
1

Hallo,
habe Probleme bei folgender Matheaufgabe:

Berechnen Sie das Kurvenintegral des Vektorfeldes F=(-y,x) entlang des Ellipsenbogen mit der Parameterdarstellung x(t)=(x(t),y(t))= (a*cos(t),b*sin(t)) für 0 ≤ t ≤ π/2 !

Hat jemand da vielleicht einen Ansatz für mich?
MfG

2

Hallo !

Zuerst musst du die Kurve ableiten.
\dot{x}(t)=(-a\sin(t),b\cos(t))
Dann die Kurve in das Vektorfels einsetzen und mit der Ableitung der Kurve skalarmultiplizieren.
=2ab\sin(t)\cos(t)
Und das jetzt noch von 0 bis &pi /2 integrieren.

Gruß

hendrik

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

3

Hallo,
danke für den Beitrag. Hab aber nochmal ein paar Fragen dazu.Muss ich die Ableitung in das Vektorfeld einsetzen? Wird das Integral später nach der Produktregel integriert?

Danke

MfG

4

Hallo,
danke für den Beitrag. Hab aber nochmal ein paar Fragen
dazu.Muss ich die Ableitung in das Vektorfeld einsetzen?

Nein. Du musst die Kurve selbst in das Vektorfeld einsetzen und das dann mit der Ableitung der Kurve skalarmultiplizieren.

Wird das Integral später nach der Produktregel integriert ?

Ich weiß nicht was du mit Produktregel meinst. sin(t)cos(t) kann man mit partieller Integration integrieren. Man kommt dann auf ein Integral von sin2(t) oder cos2(t). Das kann man auch wieder mit partieller Integration lösen, oder per Formelsammlung.

Gruß

hendrik

5

Hallo,

Dir ist wirklich nur mit ner Komplettlösung geholfen :wink:

F=(-y,x) entlang des Ellipsenbogen mit der Parameterdarstellung
x(t)=(x(t),y(t))= (a*cos(t),b*sin(t)) für 0 ≤ t ≤ π/2 !

\int \vec{F}(\vec{r}) \cdot d\vec{r}

= \int_0^{\pi/2} \vec{F}(\vec{r}(t)) \cdot \frac{d\vec{r}}{dt}: dt

= \int_0^{\pi/2} {-b \sin(t) \choose a \cos(t)} \cdot {-a \sin(t) \choose b \cos(t)} : dt

= :…: = \frac{\pi}{2}: a b

Das Wichtigste davon ist der Schritt von der ersten zur zweiten Zeile. Er stellt die Erklärung dar, wie man Linienintegrale – andere Bezeichnung: Kurvenintegrale – allgemein ausrechnet, nämlich indem man sie über eine Parametrisierung des Wegs („r(t) spezifizieren und dann t von passendem tAnfang bis passendem tEnde laufen lassen“) auf gewöhnliche Integrale zurückführt. Im Artikel in der Wikipedia steht das eigentlich auch, aber so verallgemeinert, dass der Grundgedanke nicht besonders gut rüberkommt (finde ich).

Gruß
Martin

1 „Gefällt mir“