Hallo,
gibt´s eine Kurzschreibweise für Formeln wie z.B.
6^3 + 6^2 + 6^1
oder
4^5 + 4^4 + 4^3 + 4^2 + 4^1
So wie ja z.B.
6! die Kurzschreibweise ist für 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6
Danke
Martin
\sum\limits_{k=1}^na^k = a^1+a^2+a^3+\dots+a^n
Lohnt sich aber nur für längere Summen. Eine eigene Schreibweise für diese Summen gibt es aber nicht.
mfg,
Che Netzer
Ach ja…
Bei der Fakultät liegen ja auch „besondere Umstände“ vor.
Addition:
1+2+3+4+…+n = n(n+1)/2
Multiplikation:
1*2*3*4*…*n = n!
Potentiation (oder so…):
1^(2^(3^(4^(…n)…) = (…(1^2)^3)^4)…^n) *Trommelwirbel* 1
Auch höhere Rechenoperationen (Knuths Pfeilschreibweise, Hyperoperator) und/oder die verkettete Pfeilschreibweise liefern immer nur 1 als Ergebnis, wenn man mit 1 beginnt.
Und da die Addition wie oben bereits ein schönes Ergebnis hat, wäre nur bei der Multiplikation eine Kurzform sinnvoll.
Bei der von dir angedeuteten Reihe werden ja zwei verschiedene Operationen benutzt, da „lohnt sich eine Kurzform nicht“.
mfg,
Che Netzer
Bei der von dir angedeuteten Reihe werden ja zwei verschiedene
Operationen benutzt, da „lohnt sich eine Kurzform nicht“.
Danke für die Antwort(en).
Vielleicht noch kurz der Hintergrund.
Ich bin auf die Formel gekommen, als ich mal wissen wollte, wie oft man durchschnittlich würfeln muss, wenn man eine bestimmte Kombination erreichen will.
Also z.B. würfle ich mit einem Würfel drei mal hintereinander. Wann werde ich z.B. 1 - 1 - 1 würfeln.
Ich kam dann auf diese Formel:
6 x ((6 x (6 + 1)) + 1)
was eben umgewandelt dann das ergibt
6^3 + 6^2 + 6^1
Kann mir jemand sagen, ob meine Überlegungen richtig sind?
Danke
Martin
Zu einer Frage wie „Nach wie vielen Versuchen war man durchschnittlich erfolgreich?“ hatte ich mir vor einiger Zeit eine eigene Formel entwickelt. Ob die wirklich richtig ist, weiß ich nicht, ich habe nie nach ihr im Internet gesucht…
Aber ich finde sie logisch 
Also:
Angenommen, ein (erwünschtes) Ergebnis hat eine Wahrscheinlichkeit von 30%. Das Gegenereignis hat dann 70%. Die Chance, dass es zweimal nicht eintrifft, beträgt also 0,7*0,7. Sobald diese Wahrscheinlichkeit unter 0,5 kommt, ist der Erfolg wahrscheinlicher als der Misserfolg.
Der Lösungsgedanke daher:
(1-a)^n = 0,5
Mit a als Wahrscheinlichkeit des gewünschten Ergebnisses.
Aufgelöst: n = ln(0,5)/ln(1-a)
Das muss man dann nur noch aufrunden.
An dieser Aufgabe ist a offenbar 1/6³, für n ergibt sich dann n = 149,37 bzw. 150.
Das wäre die Anzahl der Versuche, die benötigt sind, um mit einer Chance von mehr als 50% die Kombination 1-1-1 zu würfeln. (D.h. es ist nach n Versuchen wahrscheinlicher, dass man Erfolg hatte als dass man Misserfolg hatte)
Zumindest dann, wenn meine Überlegungen stimmen. (keine Garantie)
Vielleicht war das ja das, was du gesucht hattest.
mfg,
Che Netzer
Sorry, so ganz kann ich dir nicht folgen.
Also ich bin fogendermassen draugekommen. Mal am Beispiel von zwei Würfen. Ich will 1 - 1 würfeln:
Logischerweise erscheint jede Zahl des Würfels gleich oft. Das heisst, fünf mal würfelt man eine Zahl, bei der der zweite Wurf gar nicht interessiert (bei 2, 3, 4, 5 und 6).
Macht 5 Würfe.
Beim sechsten Wurf kommt die 1 und erst jetzt interessiert der nächste Wurf (der siebte). Und da es für diesen siebten Wurf wieder sechs verschiedene Möglichkeiten gibt, macht das insgesamt 6 * 7 Würfe, die man durchschnittlich braucht, um 1 - 1 zu würfeln, oder anders geschrieben 6 * (6 + 1) oder 6^2 + 6^1.
Soviel zu 1 - 1. Will ich 1 - 1 - 1 würfeln, hab ich dazu nur nach durchschnittlich 42 Würfen die Chance. Und auch hier gibt es für den 43. Wurf wieder sechs verschiedene Möglichkeit. Macht dann 6 * 43 Würfe, die man durchschnittlich braucht, um 1 - 1 - 1 zu würfeln, oder anders geschrieben 6 * (6 * (6 + 1) + 1) oder 6^3 + 6^2 + 6^1
Ich hab das ganze mal mit einem kleinen vbscript überprüft. Das macht nichts anderes, als ganz oft und schnell zu „würfeln“ und mitzuzählen, nach wie vielen Versuchen 1 - 1 „gewürfelt“ wird. Und das kommt auch ziermlich genau auf 42 hin. Also je öfters es würfelt, desto mehr nähert es sich der 42 an.
Das seltsame ist nur, dass sich das 1 - 1 - 1 vbscript nicht der 258 annähert, sondern der 257,91 und das 1 - 1 - 1 - 1 vbscript nähert sich nicht der 1554 an, sondern auch knapp daneben.
Sorry, ist jetzt viel Text geworden, aber vielleicht hat ja außer mir noch jemand Spass daran, sich mit dem „Problem“ zu beschäftigen. Deshalb hier noch die drei Scripte. Wenn man die mit cscript in einer Eingabeaufforderung startet (also „csript script.vbs“), kann man schön beobachten, wie die Abweichung von 42, 258 und 1554 immer kleiner wird.
Gruß
Martin
1 - 1 Script
randomize
zaehler = 0
for i = 1 to 10000000
do
zaehler = zaehler + 1
zz1 = int(rnd \* 6) + 1
if zz1 = 1 then
zaehler = zaehler + 1
zz2 = int(rnd \* 6) + 1
if zz2 = 1 then exit do
end if
loop
if i mod 10000 = 0 then wscript.echo formatnumber(zaehler / i,12)
next
1 - 1 - 1 Script
randomize
zaehler = 0
for i = 1 to 65000000
do
zaehler = zaehler + 1
zz1 = int(rnd \* 6) + 1
if zz1 = 1 then
zaehler = zaehler + 1
zz2 = int(rnd \* 6) + 1
if zz2 = 1 then
zaehler = zaehler + 1
zz3 = int(rnd \* 6) + 1
if zz3 = 1 then exit do
end if
end if
loop
if i mod 1000 = 0 then wscript.echo formatnumber(zaehler / i,12)
next
1 - 1 - 1 - 1 Script
randomize
zaehler = 0
for i = 1 to 6500000
do
zaehler = zaehler + 1
zz1 = int(rnd \* 6) + 1
if zz1 = 1 then
zaehler = zaehler + 1
zz2 = int(rnd \* 6) + 1
if zz2 = 1 then
zaehler = zaehler + 1
zz3 = int(rnd \* 6) + 1
if zz3 = 1 then
zaehler = zaehler + 1
zz4 = int(rnd \* 6) + 1
if zz4 = 1 then exit do
end if
end if
end if
loop
if i mod 100 = 0 then wscript.echo formatnumber(zaehler / i,12)
next
Sorry, so ganz kann ich dir nicht folgen.
Also ich bin fogendermassen draugekommen. Mal am Beispiel von
zwei Würfen. Ich will 1 - 1 würfeln:
Logischerweise erscheint jede Zahl des Würfels gleich oft. Das
heisst, fünf mal würfelt man eine Zahl, bei der der zweite
Wurf gar nicht interessiert (bei 2, 3, 4, 5 und 6).
Macht 5 Würfe.
Beim sechsten Wurf kommt die 1 und erst jetzt interessiert der
nächste Wurf (der siebte). Und da es für diesen siebten Wurf
wieder sechs verschiedene Möglichkeiten gibt, macht das
insgesamt 6 * 7 Würfe, die man durchschnittlich braucht, um 1
- 1 zu würfeln, oder anders geschrieben 6 * (6 + 1) oder 6^2
- 6^1.
Da kann ich dir wiederum nicht folgen. Das „durchschnittlich“ passt mir dabei nicht ganz.
Probieren wir das mal am Beispiel einer einzelnen 1. Dafür bräuchte man nach obiger Argumentation im Durchschnitt 6 Würfe.
Das stimmt mit der Anzahl der möglichen Ergebnisse überein, d.h. im Durchschnitt hat man nach jedem 6. Wurf eine 1.
Wenn du das meinst, wäre die Antwort auf das mit 1-1 36. Obwohl deine Antwort mit 42 (=6^2+6) natürlich auch stimmen muss 
Aber wenn jeder 36. Wurf eine 1-1 ist, sollte man doch im Durchschnitt keine 42 Würfe brauchen, um zum ersten Mal eine zu Gesicht zu kriegen.
Deshalb meine Argumentation:
Wenn die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis (bei beliebigem Zufallsexperiment) über 50% liegt, wird dieses ja im Durchschnitt schon beim ersten Mal erreicht.
Bzw.: Es beim ersten Versuch nicht zu erhalten, ist unwahrscheinlicher als der Erfolg.
Aber es muss auch nicht der erste Versuch sein.
Wenn du einen Würfel mehrfach wirfst und nie eine 1 würfelst, erhöht sich ja offenbar die Wahrscheinlichkeit, irgendwann doch eine 1 zu würfeln. Sobald diese über 50% ist, gehe ich davon aus, dass man (im Durchschnitt) erfolgreich war. Zumindest gäbe es mehr Personen, die es dann geschafft haben als solche, die Pech hatten.
Also möchte ich berechnen, nach wievielen Fehlversuchen die Wahrscheinlichkeit des Erfolges über (oder meinetwegen direkt bei) 50% liegt.
Dazu stelle ich eine Formel auf. Zunächst einmal sei a (0 n = ln(0,5)/ln(1-a)
Da n nun aber meist nicht ganzzahlig ist, wird noch aufgerundet (das ist dann mein neues n, nicht das gleiche wie oben).
Nach diesen n Versuchen ist also ein Erfolg wahrscheinlicher als ein weiterer Misserfolg. Die meisten (mehr als die Hälfte) Personen, die n Versuche durchführen, sind also erfolgreich. (Bei n-1 wären es noch weniger als die Hälfte)
Ich hab das ganze mal mit einem kleinen vbscript überprüft.
Das macht nichts anderes, als ganz oft und schnell zu
„würfeln“ und mitzuzählen, nach wie vielen Versuchen 1 - 1
„gewürfelt“ wird. Und das kommt auch ziermlich genau auf 42
hin. Also je öfters es würfelt, desto mehr nähert es sich der
42 an.
Aaaaaah ja, jetzt habe ich den Unterschied erkannt
Hier unsere Fragestellungen:
Deine: Wieviele einzelne(!) Würfe braucht man, um eine 1-1 zu erhalten, wenn man beim ersten Wurf abbricht, wenn es keine 1 ist?
Meine: Wieviele Versuche (= Wurf mit zwei Würfeln gleichzeitig) braucht man, um höchstwahrscheinlich eine 1-1 zu erhalten?
Naja, mit der Fragestellung ergibt die Rechnung auch gleich viel mehr Sinn
Das seltsame ist nur, dass sich das 1 - 1 - 1 vbscript nicht
der 258 annähert, sondern der 257,91 und das 1 - 1 - 1 - 1
vbscript nähert sich nicht der 1554 an, sondern auch knapp
daneben.
Das würde ich dann auf eine Ungenauigkeit des Systems schieben oder auf einen nicht ganz zufälligen Zufallsgenerator.
mfg,
Che Netzer