Hallo,
in der LA wird der Begriff der Morphismen ständig benutzt (z.B. Gruppenhomomorphismen, Isomorhpismen, Endomorphismen, usw.). Was genau ist den allgemein betrachtet ein Morphismus bzw. was sagt dieser Begriff aus?
Gruß,
TruEnemy
Hallo TruEnemy,
was ein Morphismus allgemein ist, kannst Du in der Wiki nachsehen: http://de.wikipedia.org/wiki/Morphismus. Allerdings befürchte ich, dass Du es so genau gar nicht wissen wolltest.
Das, was ir in der LinA macht, wird Dir wohl am häufigsten begegnen. Dabei ist Homomorphismus der Oberbegriff. Dieses Wort setzt sich zusammen aus „homo“=„gleich“ und „morph“=„Form“. Dadurch wird ausgedrückt, dass durch diese Abbildungen die Struktur (der Gruppe, des Körpers, des Vektorraums, der Algebra oder wessen auch immer) nicht verändert wird. Wenn ich also auf Urbilder die Operation des Urbildraumes loslasse und dann abbilde, kommt dasselbe raus, wie wenn ich erst abbilde und dann die Operation des Bildraumes auf die Bilder loslasse.
Die anderen „Morphismen“, die Du kennengelernt hast, sind nur Spezialfälle, und weil man nicht immer Iso-Homomorphismus etc. sagen möchte, lässt man das „Homo“ halt weg.
Dabei bedeuten die Vorsilben:
„iso“=„gleichmäßig“ (d.h. die Struktur von Urbild- und Bildbereich ist so schön gleichmäßig verteilt, dass ich auch auf dem Rückweg einen Homomorphismus erhalte; insbesondere ist meine Abbildung dann bijektiv)
„endo“=„innen“ (d.h. die Abbildung verlässt den Raum nicht, also Urbildmenge=Bildmenge)
„auto“=„selbst“ (soll bedeuten: im Wesentlichen kommt nach der Abbildung dasselbe wieder heraus, also der gleiche Raum, die gleiche Struktur – und insbesondere kann ich auch vom Bild aufs Urbild schließen, ich hab also wieder was bijektives).
Liebe Grüße
Immo
Hey TruEnemy,
also ich verstehe unter Morphismen eine bestimmte Art von Abbildungen. Welche Eigenschaften diese Abbildungen dann schlussendlich haben, hängt eben von dem Morphismus ab.
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Ein Homomorphismus bewahrt Strukturen.
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Ein Gruppenhomomorphismus bewahrt somito Strukturen bei Abbildungen zwischen 2 Gruppen.
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Wenn zwei Räume homöomorph sind, existiert also ein Homöomorphismus zwischen den beiden Räumen. Daraus folgt, dass es eine Abbildung zwischen den beiden Räumen gibt, die stetig und bijektiv ist und deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.
Weitere Morphismentypen wie eben Auto-, Endo-, Iso- usw. geben dann noch eine Zusatzinformation für die Abbildung wie z.b. injektiv, surjektiv usw.
So merke ich es mir zumindest 
Gruß René
Vielen Dank für Eure ausführlichen Antworten. Damit wurde mir um einiges klarer, ich hätte mir eventuell schon vorher einfach mal Gedanken über die Wortbedeutung von Homo und Morph machen sollen. Dennoch ist das bei mir noch nicht ganz durch: Wenn ich einen WieAuchImmer- Homomorphismus habe, dann ändert sich durch die Operation nicht „viel“ zwischen Urbild und Bild (was sich ändert, hängt von der Vorsilbe ab?)? Oder behält die Bildmenge nach der Operation einfach dieselben Eigenschaften wie die Urbildmenge? D.h. wenn ich eine Menge, Körper, Gruppe habe, darüber eine Operation durchführe, wird dann z.B. bei einer isomorphen Operation immer nur ein Bild pro Urbild erzeugt, somit bijektiv? Ist somit dann eine isomorphe Operation eine Operation, die eine bijektive Verbindung herstellt!?
Hallo TruEnemy!
Dennoch ist das bei mir noch nicht ganz durch:
Kein Problem, gehn ma noch mal drüber.
Wenn ich einen WieAuchImmer- Homomorphismus habe, dann ändert
sich durch die Operation nicht „viel“ zwischen Urbild und Bild
Richtig.
(was sich ändert, hängt von der Vorsilbe ab?)
Richtig.
Oder behält die
Bildmenge nach der Operation einfach dieselben Eigenschaften
wie die Urbildmenge?
Naja, sicher nicht alle. Welche Eigenschaften behalten werden, hängt, wie Du schon feststelltest, von der Vorsilbe ab.
Auf jeden Fall bleibt aber die Algebraische Struktur erhalten. Ein Vektorraumhomomorphismus kann also nur einen Vektorraum als Bild haben.
Kleine anspruchsvolle Anmerkung dazu: Ein Vektorraum ist nach Definition eine additive Gruppe mit ein paar zusätzlichen Eigenschaften. Wenn wir diese zusätzlichen Eigenschaften einmal ignorieren, ist ein Vektorraum immer noch eine Gruppe. Ich kann demnach einen Gruppenhomomorphismus darauf definieren, und genauso kann der Vektorraum auch Bild eines Gruppenhomomorphismus sein. Ich definiere z.B.
\varphi:frowning:\mathbb{R}^3,+)\to(\mathbb{R}_+,\cdot) \mbox{ verm"oge } (x,y,z)\mapsto e^x.
Dann ist das ein Homomorphismus.
D.h. wenn ich eine Menge, Körper, Gruppe
habe, darüber eine Operation durchführe, wird dann z.B. bei
einer isomorphen Operation immer nur ein Bild pro Urbild
erzeugt
Das sowieso. Wie stellst Du Dir denn eine Operation vor, die einem Urbild mehrere Bilder zuordnet? Das geht doch nicht!
somit bijektiv?
Dafür brauchst Du noch die Umkehrbarkeit.
Ist somit dann eine isomorphe
Operation eine Operation, die eine bijektive Verbindung
herstellt!?
Genau das ist die Definition von „isomorph“.
Liebe Grüße
Immo
P.S. Sagt ihr da wirklich „Operation“ zu? Ich würd’s doch lieber Abbildung nennen, denn das Wort „Operation“ braucht man schon für die Verknüpfungen, die man auf der algebraischen Struktur hat, also im Beispiel oben sind das „+“ auf dem R³ und das „mal“ auf dem R+ Operationen, während φ die Abbildung ist.
P.S. Sagt ihr da wirklich „Operation“ zu?
Nein, stimmt, wir sagen dazu Abbildung. Aber: Was ist denn der Unterschied, wenn ich eine Abbildung habe/definiere/durchführe (diese Abbildung führt doch nämlich auch eine Operation auf eine Urbildmenge durch, indem sie diese mit bestimmten Eigenschaften abbildet, oder nicht?) und eine Operation auf eine Urbildmenge habe/definiere/durchführe?
Wenn ich einen WieAuchImmer- Homomorphismus habe, dann ändert
sich durch die Operation nicht „viel“ zwischen Urbild und BildRichtig.
OK!
(was sich ändert, hängt von der Vorsilbe ab?)
Richtig.
OK!
Oder behält die
Bildmenge nach der Operation einfach dieselben Eigenschaften
wie die Urbildmenge?Naja, sicher nicht alle. Welche Eigenschaften behalten werden,
hängt, wie Du schon feststelltest, von der Vorsilbe ab.
OK! Klar … unnötige Festellung von mir, doppelt gemoppelt 
Auf jeden Fall bleibt aber die Algebraische Struktur erhalten.
D.h.?
Ein Vektorraumhomomorphismus kann also nur einen Vektorraum
als Bild haben.
OK! Klar …
Kleine anspruchsvolle Anmerkung dazu: Ein Vektorraum ist nach
Definition eine additive Gruppe mit ein paar zusätzlichen
Eigenschaften. Wenn wir diese zusätzlichen Eigenschaften
einmal ignorieren, ist ein Vektorraum immer noch eine Gruppe.
Klar …
Ich kann demnach einen Gruppenhomomorphismus darauf
definieren, und genauso kann der Vektorraum auch Bild eines
Gruppenhomomorphismus sein. Ich definiere z.B.\varphi:frowning:\mathbb{R}^3,+)\to(\mathbb{R}_+,\cdot) \mbox{
verm"oge } (x,y,z)\mapsto e^x.Dann ist das ein Homomorphismus.
Klar, denn die Gruppe bleibt erhalten, es ändern sich nur gewisse Eigenschaften in der „Bildgruppe“, aber es ist trotzdem noch eine Gruppe durch die Abbildung dabei herausgekommen!?
D.h. wenn ich eine Menge, Körper, Gruppe
habe, darüber eine Operation durchführe, wird dann z.B. bei
einer isomorphen Operation immer nur ein Bild pro Urbild
erzeugtDas sowieso. Wie stellst Du Dir denn eine Operation vor, die
einem Urbild mehrere Bilder zuordnet? Das geht doch
nicht!
Operation durch Abbildung ersetzen: Es gibt ja auch Abbildungen, die einem Urbild mehrere Bilder zuordnen, oder andersrum, oder beides gleichzeitig. Dennoch: Wenn ich eine Operation auf eine Urbildmenge durchführe, kann diese doch theoretisch auch mehrere Bilder erzeugen?
somit bijektiv?
Dafür brauchst Du noch die Umkehrbarkeit.
Ja, stimmt wohl, ich dachte: Wenn ich eine bijektive Abbildung habe, habe ich ja damit praktisch die Umkehrbarkeit schon. Andersrum: Wenn ich nachweise, dass eine Abbildung auch umkehrbar ist, ist sie bijektiv (aber es darf doch nur ein Urbild einem Bild zugeordnet werden, und andersrum?!)
Ist somit dann eine isomorphe
Operation eine Operation, die eine bijektive Verbindung
herstellt!?Genau das ist die Definition von „isomorph“.
OK! Klar … aber wieder Operation durch Abbildung ersetzen!?
Hallo TruEnemy,
ich werde mal versuchen, all Deine offenen Fragen zu klären. Mal sehen, ob ich alle gefunden habe.
Punkt 1: Abbildungen, Operationen und der ganze Kram
Für gewöhnlich definiert man zunächst Relationen. Dies sind irgendwelche Zuordnungen. Ich kann z.B. einer Zahl a alle Zahlen x zuordnen, die größer als a sind. So ordne ich der 5 die 6, 7, 8, 9 u.s.w. zu. Ich kann auch einer Zahl a alle Zahlen x zuordnen, deren Quadrat a ist. So ordne ich der 4 die 2 und die -2 zu.
Dann definiert man Funktionen, Dies sind eindeutige Zuordnungen. Dabei ordne ich z.B. der Zahl a diejenige positive Zahl x zu, deren Quadrat a ist. So wird der 4 nur noch die 2 (und nicht mehr -2) zugeordnet. Das macht die Wurzelfunktion.
Und nun dieser unsägliche Begriff „Abbildung“: Für die meisten Mathematiker ist er gleichbedeutend mit „Funktion“, also immer eindeutig. Es gibt allerdings auch Außenseiter, die „Abbildung“ mit „Relation“ gleichsetzen, also mehrere Bilder zulassen. Da bleibt Dir nichts anderes übrig, als möglichst schnell herauszufinden, welches Konzept Dein jeweiliger Dozent favorisiert – oder Du verbannst „Abbildung“ gänzlich aus Deinem (aktiven) Wortschatz und sprichst nur noch von Relationen und Funktionen, das ist wenigstens eindeutig.
Der Begriff „Operation“ wird normalerweise nur in algebraischen Strukturen (also Halbgruppen, Körpern, Vektorräumen, Algebren u.s.w.) verwendet und bezeichnet das, was außer der Menge noch gegeben ist. Also: (R,+,*) ist ein Körper. Die Elemente dieses Körpers sind reelle Zahlen, die Operationen auf R sind die Addition und die Multiplikation.
Besonders in Zusammenhang mit Computern wird der Begriff allerdings auch gleichbedeutend mit „Funktion“ gebraucht; aber Computer arbeiten auch nur selten mit Vektorräumen.
Wenn Du also über algebraische Strukturen sprichst, solltest Du „Operation“ nur für die zu dieser Struktur gehörigen Funktionen (Addition, Multiplikation, Operatoranwendung…) verwenden, während alles andere „Funktionen“ oder allgemeinere „Relationen“ sind. Wenn Du nicht über algebraische Strukturen sprichst, kannst Du „Operation“ bedenkenlos für „Funktionen“ verwenden, ohne damit irgendjemanden zu verwirren. Normalerweise ist allerdings das, was bei einer Operation herauskommt, aus der gleichen Menge wie das, was man hereinsteckt. Wurzelziehen als „Operation auf den positiven reellen Zahlen“ zu bezeichnen ist also nicht so befremdlich, wie das Skalarprodukt auf R³ „Operation“ zu nennen.
Punkt 2: Bijektivität
D.h. wenn ich eine Menge, Körper, Gruppe
habe, darüber eine Operation durchführe, wird dann z.B. bei
einer isomorphen Operation immer nur ein Bild pro Urbild
erzeugt
somit bijektiv?
Dafür brauchst Du noch die Umkehrbarkeit.
Ja, stimmt wohl, ich dachte: Wenn ich eine bijektive Abbildung
habe, habe ich ja damit praktisch die Umkehrbarkeit schon.
Da denkst Du richtig. Nur dadurch, dass Du eine eindeutige Zuordnung hast, hast Du noch keine Umkehrbarkeit.
Nehmen wir das Standardbeispiel: einer reellen Zahl x wird ihr Quadrat zugeordnet. Dabei wird immer nur ein Bild pro Urbild erzeugt: 1 -> 1, -2 -> 4, π -> π². Trotzdem ist diese Funktion nicht bijektiv ( = nicht umkehrbar), denn z.B. 4 hat zwei Urbilder (2 und -2), während -1 gar kein Urbild besitzt.
Ich hoffe, ich habe keine Fragen offen gelassen.
Liebe Grüße
Immo
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Punkt 1: Abbildungen, Operationen und der ganze Kram
Für gewöhnlich definiert man zunächst Relationen. Dies
sind irgendwelche Zuordnungen. Ich kann z.B. einer Zahl a alle
Zahlen x zuordnen, die größer als a sind. So ordne ich der 5
die 6, 7, 8, 9 u.s.w. zu. Ich kann auch einer Zahl a alle
Zahlen x zuordnen, deren Quadrat a ist. So ordne ich der 4 die
2 und die -2 zu.
Dann definiert man Funktionen, Dies sind eindeutige
Zuordnungen. Dabei ordne ich z.B. der Zahl a diejenige
positive Zahl x zu, deren Quadrat a ist. So wird der 4 nur
noch die 2 (und nicht mehr -2) zugeordnet. Das macht die
Wurzelfunktion.
Ich seh’ da keinen Unterschied zwischen Relation und Abbildung/Funktion. Eine Funktion kann doch genauso „uneindeutig“ sein. Beispiel: Sei f: Z -> R, f(x)= x² für alle x € Z. Dann folgt: Z.B. x= -2, x= 2 wird jeweils der gleiche Funktionswert f(-2)= 4, f(2)= 4 zugeordnet. Im Prinzip kann doch daher nur eine bijektive Abbildung/Funktion eindeutig sein.
Und nun dieser unsägliche Begriff „Abbildung“: Für die meisten
Mathematiker ist er gleichbedeutend mit „Funktion“, also immer
eindeutig. Es gibt allerdings auch Außenseiter, die
„Abbildung“ mit „Relation“ gleichsetzen, also mehrere Bilder
zulassen. Da bleibt Dir nichts anderes übrig, als möglichst
schnell herauszufinden, welches Konzept Dein jeweiliger Dozent
favorisiert – oder Du verbannst „Abbildung“ gänzlich aus
Deinem (aktiven) Wortschatz und sprichst nur noch von
Relationen und Funktionen, das ist wenigstens eindeutig.
Soweit klar … in LA benutzen wir so gut wie nie das Wort „Funktion“, sondern eigentlich nur ausschließlich „Abbildung“. In ANA hingegen benutzen wir überwiegend das Wort Funktion, wobei auch sehr selten Mal das Wort Abbildung fällt. Unser ANA- Prof. sagte aber, dass für ihn Funktion und Abbildung dasselbe ist. In LA wurde das so direkt nie gesagt …
Der Begriff „Operation“ wird normalerweise nur in
algebraischen Strukturen (also Halbgruppen, Körpern,
Vektorräumen, Algebren u.s.w.) verwendet und bezeichnet das,
was außer der Menge noch gegeben ist. Also: (R,+,*) ist ein
Körper. Die Elemente dieses Körpers sind reelle Zahlen, die
Operationen auf R sind die Addition und die Multiplikation.
Besonders in Zusammenhang mit Computern wird der Begriff
allerdings auch gleichbedeutend mit „Funktion“ gebraucht; aber
Computer arbeiten auch nur selten mit Vektorräumen.
Wenn Du also über algebraische Strukturen sprichst, solltest
Du „Operation“ nur für die zu dieser Struktur gehörigen
Funktionen (Addition, Multiplikation, Operatoranwendung…)
verwenden, während alles andere „Funktionen“ oder allgemeinere
„Relationen“ sind. Wenn Du nicht über algebraische Strukturen
sprichst, kannst Du „Operation“ bedenkenlos für „Funktionen“
verwenden, ohne damit irgendjemanden zu verwirren.
Normalerweise ist allerdings das, was bei einer Operation
herauskommt, aus der gleichen Menge wie das, was man
hereinsteckt. Wurzelziehen als „Operation auf den positiven
reellen Zahlen“ zu bezeichnen ist also nicht so befremdlich,
wie das Skalarprodukt auf R³ „Operation“ zu nennen.
Hm … soweit eigentlich klar.
Andere Frage: Eine Gruppenwirkung (Normalteiler, usw.) ist daher auch eine Operation?!
Punkt 2: Bijektivität
D.h. wenn ich eine Menge, Körper, Gruppe
habe, darüber eine Operation durchführe, wird dann z.B. bei
einer isomorphen Operation immer nur ein Bild pro Urbild
erzeugtsomit bijektiv?
Dafür brauchst Du noch die Umkehrbarkeit.
Ja, stimmt wohl, ich dachte: Wenn ich eine bijektive Abbildung
habe, habe ich ja damit praktisch die Umkehrbarkeit schon.Da denkst Du richtig. Nur dadurch, dass Du eine eindeutige
Zuordnung hast, hast Du noch keine Umkehrbarkeit.
Warum nicht?
Nehmen wir das Standardbeispiel: einer reellen Zahl x wird ihr
Quadrat zugeordnet. Dabei wird immer nur ein Bild pro Urbild
erzeugt: 1 -> 1, -2 -> 4, π -> π².
Aber es werdem doch zwei Urbildern ein Bild zugeordnet, deshalb kann sie ja gar nicht umkehrbar sein!
Ich denke, dass wir uns missverstehen. Denn wenn ich von einer EINDEUTIGEN Zuordnung spreche, meine ich damit eigentlich immer eine bijektive Abbildung/Funktion.
Trotzdem ist diese Funktion
nicht bijektiv ( = nicht umkehrbar), denn z.B. 4 hat zwei
Urbilder (2 und -2), während -1 gar kein Urbild besitzt.
Das ist klar.
Danke Dir!