Servus,
ja, den Gleichrichter kannst Du weglassen. Allerdings halte ich von dem Projekt herzlich wenig, da vernünftige Ladegeräte bereits ab 30€ zu bekommen sind, z.B. bei ELV, Conrad, etc., welche die Akkus schonend laden und dabei auch noch Funktionen wie Reaktivierung, Ladeerhaltung, etc. beherrschen.
Die verlinkte Schaltung ist absolut primitiv, eine durchbrennende Diode als Verpolungsschutz würde ich als „Dampfelektronik“ bezeichnen.
Übrigens: ein Schaltnetzteil, welches min. 2A bei 15V kann, kostet bereits etwa 25€. Und - Du kannst kein beliebiges Netzteil verwenden, es muss die richtige Spannung liefern. 15V sind Minimum, da Du 13,8V am Ausgang brauchst plus etwa 1,4V für den PB137. Nimmst Du ein Netzteil mit höherer Spannung, muss der PB137 die überschüssige Spannung „verbraten“, was sich in Hitze (Kühlkörper!!!) und unnötiger Verlustleistung äussern würde. Also - Unfug! (sorry)