Länge einer Kurve (bestimmtes Integral)

Wissenschaft Physik
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folgendes Problem:
ich will die Länge eines Parabelabschnitts berechnen.
Die Funktion lautet: f(x)=-h/r^2 * x^2 + h
h und r sind Konstanten.

Um die Länge der Kurve zwischen 0 und r zu bestimmen:

s=int[sqrt(1 + {f’(x)}^2)] von 0 bis r

f’(x)= -h/2r^2 * x

für das unbestimmte integral int[sqrt(1+(-c*x)^2)] (erhalte aus tabellenbüchern und im internet:

s(x)={c*sqrt(c^2*x^2+1)*x + sinh^-1(c*x)}/2*c
oder
s(x)={c*sqrt(c^2*x^2+1)*x + ln(c*x + sqrt(c^2*x^2+1))}/2*c

der sinh und ln teil der gleichungen sind gleich.

wenn ich nun die beiden grenzwerte für x einsetze (also 0 und r) und s® - s(0) rechne müsste ich doch die länge der kurve bekommen?!

wenn ich aber zum vergleich eine gerade zwischen den punkten (0,h) und (r,0) ziehe und deren länge mit dem pythagoras berechne, ist der wert GRÖSSER als die länge für die parabel, die ich auf dem zuvor beschriebenen weg berechnet habe.

wo liegt mein fehler?

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Hallo

Die Funktion lautet: f(x)=-h/r^2 * x^2 + h
h und r sind Konstanten.
s=int[sqrt(1 + {f’(x)}^2)] von 0 bis r
f’(x)= -h/2r^2 * x

Das ist nicht ganz korrekt. Die Ableitung lautet: -2*h*x/r^2+h
Also mal 2 nicht durch zwei.
Probiers mal damit, vielleicht passt es schon, sonst meld dich nochmal.
Alex

3

Korrektur
Tschuldigung bins nochmal

Die Funktion lautet: f(x)=-h/r^2 * x^2 + h
h und r sind Konstanten.
s=int[sqrt(1 + {f’(x)}^2)] von 0 bis r
f’(x)= -h/2r^2 * x

Das ist nicht ganz korrekt. Die Ableitung lautet: -2*h*x/r^2 +h

So hetzt hats mir den Vogel herausgehauen.
Das h kommt natürlich weg beim differenzieren.
Nun ja, hab halt Ferien :smile:
Ciao