Länge einer Spirale berechnen

Wissenschaft Physik
#1

Hallo,
wie kann man die Länge einer Spirale berechnen? Es handelt sich hierbei um eine CD, ich möchte berechnen, wie lang die Strecke ist, auf der Daten gespeichert werden können. Der Radius der CD soll hierbei 6 cm betragen.
Ein weiteres Problem ist auch, dass sich in der Mitte ein Loch mit r = 2 cm befindet, wo keine Daten gespeichert werden können.
Wie löse ich dieses Problem?

Danke schonmal,
Stephan Gsell

#2

Nur eine Idee für den Lösungsansatz
Hallo Stephan,

wie kann man die Länge einer Spirale berechnen?

Also ist schon lange her, dass ich mit Funktionen umgegangen bin, ich hatte nur auf Anhieb folgende Idee:

Also wenn du den Weg (bzw. den Winkel zur x-achse) auf der Spirale ähnlich wie bei einer Sinusfunktion auf der Zeitachse aufträgst, dann bekommst du sowas wie eine ansteigende Sinuskurve.

Da sollte sich doch was machen lassen mit der Steigung schliessslich hast du einen proportionalen Anstieg des Abstandes und damit des Winkels, wenn ich richtig gedacht habe…

Wie gesagt nur eine Idee, vielleicht hilft es ja

Gruss

mike

Es handelt
sich hierbei um eine CD, ich möchte berechnen, wie lang die
Strecke ist, auf der Daten gespeichert werden können. Der
Radius der CD soll hierbei 6 cm betragen.
Ein weiteres Problem ist auch, dass sich in der Mitte ein Loch
mit r = 2 cm befindet, wo keine Daten gespeichert werden
können.
Wie löse ich dieses Problem?

Danke schonmal,
Stephan Gsell

#3

Idee:

Sei
r1= Außenradius der Spur
r2= Innenradius der Spur
d= Dicke der Spur

phi= Zurückgelegter Winkel über die Spur

[
rechne in Polarkoordinaten:

r= sqrt(x^2+y^2)
phi= arctan(y/x)
]

dann gilt:

r(phi)=r1-d*(phi/2*PI)

wieviel radian werden von r1
bis r2 zurückgelegt?

phi_max= 2*PI*((r1-r2)/d)

Dann ergibt sich für die Länge l:

l= 2*PI* INT_r1^r2( INT_0^phi_max( r(phi) d phi) d r

Irgendwie so sollte die Lösung aussehen …
… aber kein Gewähr ;o)

Gruß M

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

#4

l= 2*PI* INT_r1^r2( INT_0^phi_max( r(phi) d phi) d r

P.S. INT = Integral, _r1 = untere Grenze ist r1, ^r2 = obere Grenze ist r2

#5

Korrektur!!!

Idee:

Sei
r1= Außenradius der Spur
r2= Innenradius der Spur
d= Dicke der Spur

phi= Zurückgelegter Winkel über die Spur

[
rechne in Polarkoordinaten:

r= sqrt(x^2+y^2)
phi= arctan(y/x)
]

dann gilt:

r(phi)=r1-d*(phi/2*PI)

wieviel radian werden von r1
bis r2 zurückgelegt?

phi_max= 2*PI*((r1-r2)/d)

Dann ergibt sich für die Länge l:

l= INT_0^phi_max r(phi) d phi

Äußeres Integral weglasen, da sonst der Flächeninhalt
berechnet wird; und das von 0 bis phi_max,
also (r1-r2)/d -mal mit sinkendem Radius.

Die Lösung sollte also sein:

l= INT_0^phi_max r(phi) d phi

Bemerkung:
Dies sollte korrekt sein, da für den
Umfang eines Kreises gilt:

U= INT_0^(2*PI) r d phi = r*phi in den Grenzen 0 bis 2*PI
= 2*PI*r - 0*r = 2*PI*r = PI*d
(mit d = Durchmesser des Kreises)

Gruß M.

#6

Danke, hoffe…

Idee:

Sei
r1= Außenradius der Spur
r2= Innenradius der Spur
d= Dicke der Spur

phi= Zurückgelegter Winkel über die Spur

[
rechne in Polarkoordinaten:

r= sqrt(x^2+y^2)
phi= arctan(y/x)
]

dann gilt:

r(phi)=r1-d*(phi/2*PI)

wieviel radian werden von r1
bis r2 zurückgelegt?

phi_max= 2*PI*((r1-r2)/d)

Dann ergibt sich für die Länge l:

l= INT_0^phi_max r(phi) d phi

Äußeres Integral weglasen, da sonst der Flächeninhalt
berechnet wird; und das von 0 bis phi_max,
also (r1-r2)/d -mal mit sinkendem Radius.

Die Lösung sollte also sein:

l= INT_0^phi_max r(phi) d phi

Vielen Dank für die Antworten.
Ich hab das ganze jetzt mal durchgerechnet, mit den Werten r1=0,055m und r2=0,022m und d=1,65µm.
Ich komme dann mit

l= INT_0^phi_max r(phi) d phi

auf folgende Länge: 691,15 m.

Ich hoffe ich habe das jetzt richtig.

Vielen Dank nochmal,
Stephan Gsell

#7

einfacher
Hi,

rechne doch einfach die Fläche der CD aus (A=pi*r²) und teile das Ergebis durch die Breite eines Datenstreifens.

Gruß
OLIVER

#8

Moin!

wie kann man die Länge einer Spirale berechnen? Es handelt
sich hierbei um eine CD, ich möchte berechnen, wie lang die
Strecke ist, auf der Daten gespeichert werden können.

Die „Spur“ auf einer CD ist keine Spirale! Es handelt sich vielmehr um einzelne, in sich abgeschlossene Ringe, also um viele Spuren (Tracks). Demzufolge liefert der Vorschlag von Oliver („einfacher“) ein absolut korrektes Ergebnis.

Den Fall einer Spirale hättest Du beispielsweise bei einer Schallplatte vorliegen, wo Du pro Seite tatsächlich nur eine Spur hast.

Munter bleiben… TRICHTEX

#9

Die „Spur“ auf einer CD ist keine Spirale!

Doch. Bei Festplatten sind es konzentrische Ringe, die wiederum in Sektoren unterteilt sind. Bei CDs sind es eine oder mehrere Spiralen.

Es handelt sich
vielmehr um einzelne, in sich abgeschlossene Ringe, also um
viele Spuren (Tracks).

Die einzelnen Tracks sind bei Audio-CDs oder Mixed-Mode-CDs gegeben; Daten-CDs haben einen einzigen Track, der spiralförmig angeordnet ist.

Den Fall einer Spirale hättest Du beispielsweise bei einer
Schallplatte vorliegen, wo Du pro Seite tatsächlich nur eine
Spur hast.

Stimmt wieder…

Hier findest Du Infos zur Mathematik:
http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/archim…

Hier zur CD generell:
http://www.mitsuigold.co.uk/distri/al/web/lexique04.jsp
http://www.karbosguide.com/de/modulg4c1.htm#The Compact

Gruß

J.

#10

Das ergibt die Fläche des Kreises mit dem Radius r/sqr(d)
, mit d als Breite des Datenstreifens.

Das Ergebnis beschreibt aufgrund der _Dreiecksungleichung_ nicht die korrekte Länge der Spur.

Einfacher ausgedrückt:
Aufgrund der Spiralform ist die Länge einer Kreisumdrehung (2*PI) größer als ohne Spiralform (-> Bezug auf die Dreicksungleichung). [Die Kreisbewegung setzt sich aus
der Kombination von zwei Vektoren zusammen, die ein Rechtwinkliges Dreieck bilden.] Deshalb nähert dieser Ansatz die Lösung nur an, berechnet aber nicht das korrekte Ergebnis.

Bemerkung:
Durch den Übergang zu Polarkoordinaten vereinfacht sich die Rechnung bereits signifikant!

Es gibt zwei Arten der Berechnung:

(1) Integral der „Funktion des Radius in Abh. des
Kreiswinkels“ über den Kreiswinkel in den Grenzen des
Kreiswinkels

(2) Integral der „Funktion des Winkels in Abhängigkeit des
des Radius“ über den Radius in den Grenzen des Radius
(Innenradius … Außenradius)

In kartesischen Koordinaten ist die Berechnung ungleich schwerer!

Gruß, M.

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

#11

Weitere Ansaetze
Man kann es auch anders rechnen:

  1. Nimm an, es handelt sich nicht um eine Spirale, sondern um konzentrische Kreise. Der Fehler, den man dabei macht, ist absolut zu vernachlaessigen und bestimmt geringer, als derjenige, der durch die Ungenauigkeit der Anfangsgroessen zustandekommt.
  2. Schaetze es ueber die Spielzeit ab.

Gruss
Moriarty

#12

Moin!

Die „Spur“ auf einer CD ist keine Spirale!

Doch. Bei Festplatten sind es konzentrische Ringe, die
wiederum in Sektoren unterteilt sind. Bei CDs sind es eine
oder mehrere Spiralen.

Huch, wie war ich denn gestern drauf? Natürlich ist die Spur einer CD eine Spirale. Festplatten und Disketten verwenden Spuren in Form konzentrischer Ringe, völlig korrekt! Danke für die Richtigstellung!

Munter bleiben… TRICHTEX