Hallo Marco!
Warscheinlichkeit Klausur zu bestehen ist:
p(t1,t2)=t1*t2/(1+t1*t2)
Das willst Du also maximieren unter der Bedingung t1+t2=T, T vorgegeben.
Ja klar, kannst das partiell ableiten, die Nullstellen der Ableitungen suchen (da sind dann die Extrema) und dann irgendwie die Nebenbedingung einflechten.
Schlauer wäre es, zuerst die Nebenbedingung einzupflegen (also z.B. jedes t2 durch (T-t1) zu ersetzen), denn dann hast Du nur noch eine einzige Variable, nach der Du ableiten musst.
Und am schlausten ist es, wenn man sich die Funktionsgleichung so lange vereinfacht, bis man sofort ablesen kann, welches die Lösung ist:
p(t_1,t_2)=\frac{t_1t_2}{1+t_1t_2}
=\frac{1+t_1t_2-1}{1+t_1t_2}=1-\frac{1}{1+t_1t_2}.
Die Differenz wird maximal, wenn der Subtrahend minimal wird. Das wiederum ist der Fall, wenn der Nenner Maximal wird. Und der wird maximal, wenn t1*t2 maximal wird.
Jetzt kannst Du entweder wieder die Nebenbedingung einsetzen und ableiten, um zu sehen, wann t1*t2 maximal wird, oder Du erkennst es anschaulich:
t1*t2 ist der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen t1 und t2. t1+t2 ist der halbe Umfang, und der ist vorgegeben. Wie bekomm ich nun mit einem gegebenen Umfang ein möglichst großflächiges Rechteck? Ganz einfach, indem ich ein Quadrat draus mache.
Ich habe nicht ein einziges Mal abgeleitet, und dennoch habe ich die Lösung gefunden, dass t1 und t2 gleich groß sein müssen.
Liebe Grüße
Immo
