Hallo,
mir fehlt eine verständliche, intuitive Erklärung für die Methode mit den Lagrange-Multiplikatoren, Ansprechpartner ist VWL-Student.
Dass ich zu der Zielfunktion Nebenbedingungen addieren kann ohne den Wert der Fkt. zu verändern ist klar. Diese werden ja in der Form g(x,y) - E = 0, als Bsp., angegeben, diesen Ausdruck kann ich natürlich mit einem beliebigen Faktor multiplizieren, da Faktor*0 auch 0 ist.
Der mathematische Apparatismus, der dann folgt, also partielle Abltg. usw. ist nicht das Problem.
Auch bei der Herleitung der p-q-Formel wird ja 0 addiert und dies dann durch (p/2)^2 - (p/2)^2 =0 ersetzt um dann durch die Binomische Formel letztlich die Formel zu bekommen.
Hier ist sehr schnell ersichtlich welchen Nutzen die Addition hat, in anderen Fällen ist es die Multiplikation mit 1.
Leider habe ich im Netz, Archiv nicht wirklich etwas gefunden, das eine ähnliche Erklärung liefert. Meine Bücher über Klassische Mechanik verstauben irgendwo im Keller, ich habe sie nicht gefunden.
Also, wie kann ich erklären, dass ich Null addieren muss, dass es funktioniert steht außer Frage.
Danke für Tipps.
Gruß Volker
Hallo,
mir fehlt eine verständliche, intuitive Erklärung für die
Methode mit den Lagrange-Multiplikatoren, Ansprechpartner ist
VWL-Student.
Dass ich zu der Zielfunktion Nebenbedingungen addieren kann
ohne den Wert der Fkt. zu verändern ist klar. Diese werden ja
in der Form g(x,y) - E = 0, als Bsp., angegeben, diesen
Ausdruck kann ich natürlich mit einem beliebigen Faktor
multiplizieren, da Faktor*0 auch 0 ist.
Hallo Volker !
Ich nehme an, es geht um quadratische Programmierung.
Wenn die Lagrange-Funktion ein Minimum hat, heißt das, dass der Gradient der Zielfunktion eine Linearkombination der Gradienten der Nebenbedingungen ist, denn der Gradient der Lagrange-Funktion muss ja 0 sein.
Das heißt, dass im Lösungspunkt die Hyperebenen der aktiven Nebenbedingungen (also die die mit Gleichheit erfüllt sind) senkrecht zum Gradienten der Zielfunktion stehen. Damit stehen sie natürlich auch senkrecht zum negativen Gradienten der Zielfunktion, was ja die Richtung auf das (unbeschränkte) Minimum der Zielfunktion ist.
Würde die Hyperebene einer aktiven Nebenbedingung nicht senkrecht auf dem (negativen) Gradienten der Zielfunktion stehen, so könnte man praktisch entlang dieser Hyperebene runterrutschen und so den Wert der Zielfunktion noch verkleinern.
Die Lagrangemultiplikatoren sind die Koeffizienten dieser Linearkombination, und sie sind sozusagen eine Art Ableitung des Zielfunktionswertes nach der Nebenbedingung, d.h. der Betrag des Lagrangemultiplikators ist ein Maß dafür wie stark sich der Zielfunktionswert verringern würde wenn man die entsprechende Nebenbedingung nicht beachten würde.
Man muss allerdings auf das richtige Vorzeichen der Multiplikatoren achten, je nachdem ob die Nebenbedingungen als &le oder &ge formuliert wurden, aber das wird jetzt langsam zu kompliziert.
Ich hoffe du kannst was mit der Antwort anfangen.
hendrik
Hallo Hendrik,
herzlichen Dank für Deine Hilfe. Deine ausführliche Ausführung ist zwar nicht für meinen Sohn geeignet, aber haben einige Zusammenhänge wieder aufgehellt.
Ich denke, dass ich die zusammenhänge jetzt ausreichend, ohne mathematische Strenge, anschaulich dargestellt habe.
Das reine Handwerk wird hoffentlich kein Problem sein.
Gruß Volker
PS. Meine erste Antwort habe ich gelöscht, das sich die dortigen Fragen mittlerweile auch gelöst haben.