Hallo liebe Mathe-Freunde,
ich bin mal wieder zu doof ne Aufgabe zu rechnen und wollte daher um eure Mithilfe bitten!
Die Fragestellung lautet: Wie lautet die Laplace-Transformierte der Delta-Funktion?
δ(t)=1/(2π)* ∫ (exp(ikt) dk
(untere Grenze -∞, obere Grenze ∞)
Meine Idee: ich forme das Ganze erstmal in die sin-/cos-Schreibweise um:
δ(t)=1/(2π)* (∫ cos(kt) dk + i ∫ sin(kt) dk)
(wieder mit o.g. Grenzen)
da sich die Flächen in symmetrischen Grenzen unter einer ungeraden Funktion zu 0 addieren, ergibt der hintere Teil i ∫ sin(kt) dk = 0
bleibt noch δ(t)=1/(2π)* ∫ cos(kt) dk = 1/(2π)* ∫ 2* cos(kt) dk (in den Grenzen von 0 bis ∞) zu lösen:
δ(t)=1/(π)* (1/t) * [sin (kt)] (in den Grenzen von 0 bis ∞)
und sin 0 = 0 und sin ∞ = nicht definiert…
–> es kommt 0 raus und das ist falsch *heul* (glaube, die richtige Lösung ist 1, bin mir aber nicht sicher… und was nützt mir schon die Lösung, wenn ich nicht weiß, wie ich da hinkomme?!)
Kann mir jemand helfen/den richtigen Lösungsweg zeigen?!
Danke & viele Grüße,
Queeny
Hi,
nein, Du bist nicht zu doof und hast das, was vorgegeben war, richtig umgesetzt. Wenn auch falsch interpretiert, dieses Integral war gar nicht auszurechnen.
Man darf eben die Delta-Distribution (das ist keine Funktion!) nicht einfach so definieren. Was korrekt ist, ist die Fourier-Transformierte der Delta-Distribution
1/(2π)* exp(ikt).
Das Integral existiert nur im Distributionensinne, also wenn da noch eine Testfunktion als Faktor drin steht.
Zur Lösung der Aufgabe ist einfach das Schema zur Uminterpretation einer Fouriertransformierten in eine Laplacetransformierte anzuwenden, also im Wesentlichen it durch s zu ersetzen.
Gruß Lutz
Hallo,
erstmal vielen Dank für deine schnelle Antwort!
nein, Du bist nicht zu doof und hast das, was vorgegeben war,
richtig umgesetzt. Wenn auch falsch interpretiert, dieses
Integral war gar nicht auszurechnen.
also bin ich doch zu doof - ich kapiere ja noch nichtmal die Aufgabenstellung -.-’
Zur Lösung der Aufgabe ist einfach das Schema zur
Uminterpretation einer Fouriertransformierten in eine
Laplacetransformierte anzuwenden, also im Wesentlichen it durch
s zu ersetzen.
Das Wörtchen „einfach“ überlese ich jetzt mal ^^ - ich stehe nämlich gerade aufm Schlauch und versteh nicht, was du meinst…
Muss ich jetzt it durch s ersetzen, indem ich in diese tolle Korrespondenztabelle gucke und sehe, dass exp(ikt) umgeformt 1/(s-it) ist?! Und dann?! *ratlos bin*
Oh man, wozu ist dieser Kram gut, außer um arme Studenten zu quälen?!
Grüße von der Mathe-hassenden Queeny!
Hi,
schau Dir die Formel für die Rücktransformation der Laplace-Transformation an und vergleiche diese mit dem gegebenen Integral. Wenn Du s=it setzt und die Integrationsgrenzen entsprechend mit i multiplizierst, dann siehst Du, dass der (weggelassene) Faktor 1 die Laplace-Transformierte ist. Genauso wie auch die Fourier-Transformierte.
Gruß Lutz
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Hallo Queeny,
vielleicht hilft Dir das Folgende:
Die LP-Transformation (Hintransformation) für die Delta-Funktion lautet:
D§ = ∫ δ(t) exp(-pt) dt
integriert über t von Null bis Unendlch (nicht von -unendlich, das wäre die Fouriertransformation). Bei der LP-Transformation sind nämlich die zu transformierenden Zeitfunktionen nur für Zeiten größer oder gleich Null definiert, deshalb braucht man nur von Null anfangen zu integrieren (genau genommen von -0). p ist die komplexe Kreisfrequenz, sie ist p = iω + σ , wobei ω und σ reelle Zahlen sind und σ ist größer als Null. Die Deltafunktion hat die Eigenschaft, dass sie a) außer im Zeitnullpunkt überall verschwindet (d.h. gleich 0 ist) und dass b) das Integral über sie 1 ergibt (so ist diese Funktion oder Distribution, wie man auch sagt, eben definiert). Mit der Eigenschaft a) kommt die Exponentialfunktion in dem Integral nur für t=0 zum tragen, dort ist diese aber 1. Und damit gilt:
D§ = ∫ δ(t) 1 dt = ∫ δ(t) dt,
was mit der Eigenschaft b) dann zu 1 wird. Die LP-Transformierte der Deltafunktion ist also für alle Werte der komplexen Kreisfreuenz gleich 1.
Grüße
Gunter
Hi,
diese Erklärung ist aber arg gefährlich. Erstens existiert das Integral nicht wirklich, und die „Dirac-Funktion“ ist keine Funktion. In der üblichen Integration sind Werte auf dem Rand des Integrationsbereiches (wie auf jeder Nullmenge bzw. Menge vom Inhalt Null) für den Integralwert unwesentlich, womit man das Integral zu Null interpretieren müsste.
Zweitens, approximiert man die Dirac-Distribution durch hohe enge Pulse, dann kann man, je nach Pulsform, jeden Wert zwischen 0 und 1 herausbekommen, für symmetrische Pulse z.B. erhält man 1/2.
Es bleibt also nur der Blick in die Korrespondenztabelle bzw. das Verhalten unter Faltung und inverser Transformation, um auf einen korrekten Wert 1 dieser Laplace-Transformierten zu kommen.
Gruß Lutz
Hallo,
bezüglich der Deltafunktion liest Du vielleicht einmal in dem Buch „Signalübertragung“ von H.D. Lüke nach. Nach diesem Buch haben schon Jahrzehnte früher Lüke selbst und heute noch Professor Ohm an der TH Aachen den angehenden Doplomingenieuren die Theorie der Nachrichtenübertragung gelehrt. So arg gefährlich oder evtl. gar falsch kann das ja dann wohl doch nicht sein.
Grüße
Gunter
Oh man, wozu ist dieser Kram gut, außer um arme Studenten zu
quälen?!
Um mal deine Nebenfrage zu beantworten, was du hier wohl lernen sollst, wenns nicht nur Quälerei ist. Ich weiss nicht, was genau du studierst, aber ich probiers mal so:
Eine sehr kurze Anregung führt dazu, das alle Frequenzen gleich stark angeregt werden, weil eben alle Frequenzen in der Anregung stecken; das soll dir durch die Transformierte gezeigt werden, in der du eben siehst, wie alle Frequenzen die gleiche Amplitude haben (nämlich 1).
Grob gesagt, durch einen harten Schlag bringst du alles zum Wackeln.
Gruss,
ulaxx
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Hi,
es kommt ja auch irgendwie hin, aber nicht immer rechtfertigt das richtige Resultat auch den Lösungsweg.
Das Thema Nachrichtentechnik und mathematische Korrektheit lassen wir mal lieber ganz außen vor.
Gruß Lutz
Zur „wozu gut“ Frage:
Lineare „zeitinvariante“ Systeme, also mit konstanten Koeffizienten, seien es Differential- oder Differenzengleichungen, haben Eigenschwingungen, die sich als Exponentialfunktionen mit reellen oder komplexen Faktoren darstellen lassen. Deshalb auch der Laplace-Ansatz der Exponentialfunktion exp(st) für diese homogenen Lösungen. Wenn von außen eine Anregung einwirkt, die ebenfalls eine Exponentialfunktion ist, lässt diese sich ähnlich leicht behandeln wie die homogenen Lösungen. Deshalb kam man auf die Idee, jegliche äußere Anregung als Summe von Exponentialfunktionen mit verschiedenen Frequenzfaktoren darstellen zu wollen. Das geht nicht immer, deshalb müssen manche als Integral statt Summe dargestellt werden. Die Technik dazu ist die Laplace-Transformation oder die Fouriertransformation. Wenn man Anregungen, die tatsächlich Summen sind, als Integral darstellt, dann tauchen da Punktmassen, d.h. eine „Delta-Funktionen“, in der Laplace-Transformierten auf, deshalb muss man auch mit diesen umgehen können.
Wenn Du also später mal LTI-Systeme analysieren willst (und ziemlich alles kompliziertere wird auf diese zurückgeführt), dann brauchst Du eingeübte Grundkenntnisse in der Laplace-Transformation, und dazu dienen diese Übungsaufgaben.
Gruß Lutz