Mit einem Haufen Legosteinen (bzw. Duplo) in den Händen, ist mir heut nachmittag folgende Frage eingefallen: Ein recchteckiger Legostein hat acht „Noppen“, angeordnet zu 2 x 4, also in etwa so:
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Wenn man jetzt zwei dieser Steine nimmt, wie viele Möglichkeiten gibt es, die beiden Steine zu verbinden - angefangen von Verbindungen nur über einen Noppen über zwei, drei, u.s.w.
Wie viele Möglichkeiten bleiben übrig, wenn man gleich aussehende Kombinationen weg lässt? Angenommen, die beiden Steine haben unterschiedliche Farben. Wie viel Kombinationen bleiben dann bei weg lassen identisch aussehender Verbindungen übrig?
Wolfgang
PS: Ich selbst hab mir nur zur ersten Frage eine Antwort zurecht gerechnet. Bei den anderen bin ich mal auf Lösungsvorschläge - und insbesondere Lösungswege - gespannt.
Die Möglichkeiten, einen Stein (z.B. rot) auf einen Anderen (z.B. blau) zu stecken ergeben sich aus folgenden Überlegungen:
Die „Grundstellung“ ist die volle Übergdeckung (alle acht Noppen bedecken).
Bei Verschiebung nach oben oder unten um einen Noppen hält’s auch, ebenso wie bei Verschiebung nach rechts/links um ein zwei oder drei Noppen. Da Verschiebung nach rechts symmetrisch ist zu Verschiebung nach links, zähle ich nur eine Richtung. Ebenso bei oben/unten.
Macht:
oben: 0 oder 1
rechts: 0,1,2 oder 3
insgesamt 2*4=8 Stellungen
Jetzt kommen die Kreuzweise angeordneten Steine:
Gundstellung:
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oooo
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Bei Verschiebung eines Steines nach oben/unten ist 0,1 oder 2 Noppen möglich, ebenso bei Verschiebung nach links/rechts.
wiederum ist Verschiebung nach oben symmetrisch zu Verschiebung nach unten, und nach rechts zu nach links. Ich zähle also jeweils nur eine Richtung.
Macht: 3*3=9 Möglichkeiten
Summe: 8+9 = 17 Möglichkeiten.
Jetzt kann ich (falls die Steine verschiedene Farben haben, sagen wir rot und blau, in jeder Stellung rot gegen blau austauschen und somit die anzahl der Möglichkeiten Verdoppeln:
Macht 2*17=34 Möglicheiten.
Soweit deine Aufgaben.
Wenn jetzt die Steine noch eine ausgezeichnete Richtung haben (z.B. Beschriftung auf einer Seite), kann ich in jeder Stellung keinen Stein oder einen Stein um 180 Grad drehen und bekomme eine neue Stellung:
2*34 = 68 Stellungen
(Anm: wenn ich den anderen Stein um 180 Grad drehe bekomme ich die gleiche Stellung wie wenn ich den ersten Stein um 180 Grad drehe und dann die erhaltene Stellung nachmal um 180 Grad; diese Stellung ist also keine ‚neue‘. Ebensowenig wie ‚beide Steine um 180 Grad drehen‘)
Wer möchte weiter verallgemeinern, und drei Steine betrachten ?!?
Peace, Kevin.
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