Hallo,
man unterscheidet ja zwischen monoton und streng monoton fallend / steigend (ich sprech jetzt immer nur von fallend).
So wie ich es verstanden hab, ist eine Funktion streng monoton fallend, wenn x1f(x2) ist.
Eine Funktion ist wohl nur monoton fallend, wenn x1
Hallo,
man unterscheidet ja zwischen monoton und streng monoton
fallend / steigend (ich sprech jetzt immer nur von fallend).
So wie ich es verstanden hab, ist eine Funktion streng monoton
fallend, wenn x1f(x2) ist.
Eine Funktion ist wohl nur monoton fallend, wenn x1=f(x2), bzw. streng monoton fallend, wenn sogar gilt f(x1)>f(x2).
Eine konstante Funktion f(x)=a ist sowohl monoton fallend als auch monoton steigend.
Des weiteren: wie gebe ich da die Grenzen an, in denen eine
bestimmte Monotonie herrscht? Konkretes Beispiel:
f(x)=x^2
bis zur 0 fällt der Graph und ab der 0 steigt er. Sogar
streng, denk ich, wenn ich alles recht verstanden hab. Aber
was ist bei der 0??? Wird die 0 irgendwie in die
Bereichsgrenzen mit eingezogen?
Wie ist also exakt angegeben die Monotonie einer solchen
Funktion?
Im Intervall (-\infty,0] ist f(x)=x^2 streng monoton fallend und im Intervall [0,\infty) streng monoton steigend, da die jeweiligen Bedingungen auch ohne Gleichheitszeichen gelten.
–
PHvL
Hallo,
man unterscheidet ja zwischen monoton und streng monoton
fallend / steigend (ich sprech jetzt immer nur von fallend).
So wie ich es verstanden hab, ist eine Funktion streng monoton
fallend, wenn x1f(x2) ist.
korrekter: wenn für alle x1 f(x2)
Eine Funktion ist wohl nur monoton fallend, wenn x1= f(x2).
Warum eigentlich? Denn wenn der Funktionswert
gleich ist, steigt weder fällt doch die Funktion, oder warum
ist das so (definiert?)?
Naja, wenn die Funktion fällt aber in einem gewissen Bereich doch mal waagrecht verläuft sagt man dass sie monoton fällt, streng monoton wäre sie wenn sie keine waagrechte Stelle hat.
Des weiteren: wie gebe ich da die Grenzen an, in denen eine
bestimmte Monotonie herrscht? Konkretes Beispiel:
f(x)=x^2
bis zur 0 fällt der Graph und ab der 0 steigt er. Sogar
streng, denk ich, wenn ich alles recht verstanden hab. Aber
was ist bei der 0??? Wird die 0 irgendwie in die
Bereichsgrenzen mit eingezogen?
Du kannst sagen dass sie bis einschließlich 0 monoton fällt und ab einschließlich 0 monoton steigt. Das kannst du anhand deiner Definition überprüfen: wenn x1 = -h und x2 = 0 ist so gilt f(-h) > f(0), da ja h²>0 ist. (In diesem Punkt bin ich mir nicht ganz sicher ob das stimmt, warte lieber noch mal eine andere Antwort ab).
HTH,
Moritz
OK – alles klar
Wer hat das so festgelegt, dass eine konstante Funktion fallend UND steigend ist? Eine solche Funktion ist also nicht streng fallend / steigend, weil ja benachbarte Funktionswerte gleich sind, oder?
Ajo
Hallo,
Wer hat das so festgelegt, dass eine konstante Funktion
fallend UND steigend ist?
derjenige der die Begriffe „monoton fallend“ und „monoton steigend“ so definiert hat. Es treffen halt einfach beide Definitionen zu. Solche Entartungen findet man in der Mathematik recht häufig - z.B. gibt es Mengen (z.B. IC und {} in IC), die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind.
Das hat den Vorteil: ein Satz, der für monoton fallende (oder steigende) Funktionen bewiesen ist, gilt ohne neuen Beweis auch für konstante Funktionen.
Eine solche Funktion ist also nicht streng fallend / steigend, weil
ja benachbarte Funktionswerte gleich sind, oder?
Ja, die Bedingung für strenge Monotonie ist hier sogar für kein Paar von x1, x2 erfüllt.
–
PHvL