Zirkelkonstruktionen des Mascheroni
Hallo Zwergenbrot,
konstruktion eines Quadrates. Gegeben sei ein weißes Blatt
(mit viel Platz für missglückte Versuche) und ein Zirkel.
Zu konstruieren seien vier Punkte, die nach verbinden ein
Quadrat bilden.
diese Aufgabe ist von vornherein unlösbar, denn nur mit einem Zirkel eine Gerade „in Gänze“ (heißt: inklusive aller Punkte, die sie enthält) zu malen, ist selbstverständlich unmöglich. Selbst angestrengtes Philosophieren über Zirkel mit unendlich großem Radius hilft hier nicht weiter.
Was hälst Du aber von folgender Modifikation Deiner Aufgabe:
[…] Zu konstruieren seien vier Punkte, die ein Quadrat bilden.
Auch wenn in allen Mathebüchern Quadrate immer mit „Seitenlinien“ abgebildet sind, so ist es doch so, daß die Information „Quadrat“ bereits vollständig in den Eckpunkten enthalten ist (d. h. wenn die Eckpunkte gegeben sind, dann sind auch die Seitenlinien eindeutig festgelegt). Deshalb darf – und sollte – man vier nicht identische Punkte, die auf einem Kreis liegen, bereits als Quadrat betrachten (und den, der sie noch durch Linien verbindet, als Kosmetiker, nicht als Mathematiker).
Nun zu Deiner eigentlichen Frage (im Sinne der obigen Modifikation). Das „Standardwerkzeug“ der großen Mathematiker des Altertums (Euklid, Thales, Pythagoras…) bestand bekanntlich aus Zirkel und Lineal. Wie man damit mehr oder weniger leicht alles mögliche konstruieren kann, ist heute Stoff des Matheunterrichts.
Einige Leute kamen aber auch auf die Idee, sich stärkere Beschränkungen in der Wahl der Werkzeuge aufzuerlegen, und herauszufinden, was dann noch geht. Der Erste, der in dieser Richtung forschte, war der persische Mathematiker Abul Wefa im 10. Jht. Er ging der Frage nach, wie weit man wohl mit einem Lineal und einem festen statt einem verstellbaren Zirkel kommt. Er gab etliche Konstruktionsvorschriften für das Arbeiten mit einem solchen Zirkel an, der später auch der „rostige Zirkel“ genannt wurde. Viele seiner Lösungen – speziell seine Methode, ein regelmäßiges Fünfeck zu konstruieren, sind wahrhaft genial. Später experimentierten noch viele andere mit dem rostigen Zirkel, darunter Leonardo da Vinci. Ein englischer Landvermesser namens William Leybourn schrieb 1694 sogar ein ganzes Buch darüber, in dem sich viele abgefahrene Rostige-Zirkel-Konstruktionen finden, aber erst im 19. Jht. lieferte der französische Mathematiker Jean Victor Poncelet einen Beweis, der später von dem Schweizer Jakob Steiner streng durchgeführt wurde, daß alle Konstruktionen, die mit (verstellbarem) Zirkel und Lineal möglich sind, auch mit Lineal und rostigem Zirkel durchgeführt werden können. Sie bewiesen dabei sogar noch mehr, nämlich, daß alle Konstruktionen mit Zirkel und Lineal auch mit einem Lineal alleine durchgeführt werden können, wenn nur ein einziger Kreis mit seinem Mittelpunkt in der Ebene gegeben ist. Im frühen 20. Jht. zeigte man, daß nicht einmal der volle „Poncelet-Steiner-Kreis“, wie er genannt wurde, gebraucht wird – es genügt ein beliebig kleiner Bogen davon (zusammen mit seinem Mittelpunkt).
Die Frage, was passiert, wenn man den Zirkel verstellbar läßt, aber das Lineal wegläßt, stellte sich der italienische Mathematiker Mascheroni. 1797 gab er die Antwort, und die überraschte die Mathematiker seiner Zeit ziemlich. Er fand heraus, daß jede Konstruktion mit Zirkel und Lineal auch nur mit einem (verstellbaren) Zirkel alleine ausgeführt werden kann! Seine Konstruktionen sind unter dem Namen „Zirkelkonstruktionen des Mascheroni“ berühmt geworden. Heute weiß man allerdings, daß ihm der dänische Geometer Georg Mohr zuvorkam: Er veröffentlichte Mascheronis Beweis bereits 1673 in einem unscheinbaren kleinen Buch, das man jedoch erst 1928 entdeckte.
1939 veröffentlichte T. R. Dawson eine sehr skurille Konstruktionsmethode und ein bemerkenswertes (aber wenig bekanntes) Theorem dazu. Zur Verfügung steht eine unbegrenzte Anzahl von gleichlangen Zahnstochern, die als Modell für feste Strecken fungieren, die in der Ebene bewegt werden können. Dawson bewies, daß sich mit den „Zahnstochern“ genau diejenigen Punkte konstruieren lassen, die man mit Zirkel und Lineal erhalten kann. Er gibt Methoden an, eine Strecke zu halbieren, einen Winkel zu halbieren, ein Lot zu fällen und andere elementare Konstruktionen, die seine Behauptung untermauern.
Dawson glaubt, daß man mindestens 11 Zahnstocher braucht, um eine Strecke zu halbieren. Ein Quadrat läßt sich mit 16 Zahnstochern konstruieren; die Halbierung eines Winkels erfordert nur fünf.
Nun bin ich Dir immer noch die Antwort auf Deine Frage schuldig 
. Eine Vorschrift, wie sich nun tatsächlich ein Quadrat nur mit einem Zirkel konstruieren läßt, und weitere Informationen zu Abul Wefa, Mascheroni und den Zahnstochern findest Du hier:
http://www.oliver-bieri.ch/mascheroni/default.htm
MfG
Martin
