Hallo,
ok - nochmal besser formuliert.
Man nehme z.B. die Anfangszahlen 3 und 7, berechne die dritte Zahl als Summe der beiden, also 10, die vierte Zahl als Summe der dritten und zweiten Zahl (17) und verfahre so fort, bis man 10 Glieder dieser Zahlenfolge berechnet hat:
3,7,10,17,27,44,71,115,186,301
Die Summe dieser Zahlen ist 781. Wie kann die Summe schnell berechnen, ohne alle Glieder der Zahlenfolge zu summieren ? Warum geht dies für beliebig gewählte Anfangszahlen ?
Gruss
Enno
Ich kenne eine Reihe, die sich aus sequenzieller Addition ergibt:
1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13 usw.
Das ist die Fibonacchi-Reihe. Die sollte auch in deiner Reihe „drin“ stecken, mit den Faktoren 3 und 7.
Die n-te Fibonnacchi-Zahl berechnet sich nach
Fib(n) = 1/w*( (((1+w)/2)^A4) - (((1-w)/2)^A4) )
wobei w = Wurzel(5).
Mein Tipp:
Summe(n) = 3*Fib(n)+7*Fib(n+1)
Die ersten zehn Glieder sind:
n Fib(n) Fib(n+1) 3\*Fib(n)+7\*Fib(n+1)
1 1 1 10
2 1 2 17
3 2 3 27
4 3 5 44
5 5 8 71
6 8 13 115
7 13 21 186
8 21 34 301
9 34 55 487
10 55 89 788
Die Summe dieser Zahlen ist 781.
Haste dich da verguckt?
Gruss
Jochen
Hallo,
Deine Summenformel stimmt schon fast. Es müßte aber gelten:
n f(n) summe(n)
0 3 3
1 7 10
2 10 20
3 17 37
4 27 64
5 44 108
6 71 179
7 115 294
8 186 480
9 301 781
Man kann zwar auch für beliebige Fibonacci Folgen (selbes Rekursionsschema aber andere Startwerte - nichts anderes sind die hier betrachteten Folgen) eine geschlossene Formel z.B. via Z-Transformation gewinnen, daß ist aber hier m.M. nach zu kompliziert.
Gruss
Enno
Hallo,
Jetzt hab ich erst verstanden, nach was du eigentlich gefragt hast… peinlich.
Hier der zweite Versuch:
Summe(n) = 3*Fib(n+1)+7*(Fib(n+2)-1)
Die Ergebnistabelle:
n Fib(n+1) Fib(n+2) Summe(n)
0 1 1 3
1 1 2 10
2 2 3 20
3 3 5 37
4 5 8 64
5 8 13 108
6 13 21 179
7 21 34 294
8 34 55 480
9 55 89 781
10 89 144 1268
Also: Summe(9) = 781. Stimmt’s nun?
Gruss
Jochen
Lösung = 55a+88b
(mal ohne methematische Schnickschnacks formuliert)
also: 55*3+88*7 = 781
W.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Genau
Hallo,
stimmt. Jetzt setze noch mal konkrete Werte für n=9 ein und Du findest ein Element der Folge, das man elegant zum berechnen der Gesamtsumme verwenden kann.
Gruss
Enno
Hallo,
stimmt auch. Nur geht es noch einen Tick leichter, wenn man sich die Zahlenfolge anschaut. Tip : 55a+88b=x*(s*a+t*b) und s*a+t*b ist ein Element der Folge - na ?
Gruss
Enno
stimmt auch. Nur geht es noch einen Tick leichter, wenn man
sich die Zahlenfolge anschaut. Tip : 55a+88b=x*(s*a+t*b) und
s*a+t*b ist ein Element der Folge - na ?
Okay, daraus ergibt sich x=11, s=5, t=8 und damit ist (s*a+t*b) das 7. Element der Folge. Ich finde nur nicht raus, was an dieser Darstellung einfacher sein soll, wenn man anfangs nur a und b gegeben hat. Mit 55a+88b kann ich die Summe sofort berechnen. Mit 11*(5a+8b) auch. Oder soll ich erst alle Folgeglieder aufschreiben, mir das 7te raussuchen und es mit 11 multiplizieren? Das würde doch länger dauern…
Oder meintest du etwas anderes?
Wolfgang
Hallo,
ok, das war unklar. Die Summenbildung sollte die gegebene Folge vorraussetzen. Bsp. Du läßt eine Person a,b wählen, bildest die Folge und überrascht sie mit der scheinbar schnellen Summation. Anyway der entscheidende Teil ist das 55a+88b.
Gruss
Enno
Nachtrag
Hallo,
das Rätsel ist übrigens Martin Gardners Buch „Mathematik und Magie“ entnommmen.
Gruss
Enno
Hallo,
Jetzt setze noch mal konkrete Werte für n=9 ein
hab ich doch…
und Du
findest ein Element der Folge, das man elegant zum berechnen
der Gesamtsumme verwenden kann.
Das Ergebnis IST die Gesamtsumme.
? ? ?
Gruss
Jochen
Hallo,
Das Ergebnis IST die Gesamtsumme.
ja. Schau Dir meine Antwort(en) auf chronotopia’s Lsg. an.
Gruss
Enno
Hallo,
das Rätsel ist übrigens Martin Gardners Buch „Mathematik und
Magie“ entnommmen.
…dessen Buch „Unsere gespiegelte Welt“ btw. auch SEHR zu empfehlen ist!
Gruß,
Malte.