Hallo,
da fällt mir wieder eine Aufgabe ein, für die ich leider keine Lösung mehr habe. Ich hatte es mal selbst ausgerechnet. Es geht! Obwohl viele Leute sagen es ist unmöglich zu berechnen.
Hört sich eigentlich ganz einfach an:
Eine Leiter ist 7 Meter lang. In welchem Winkel muß ich sie an die Wand stellen, damit eine würfelförmige Kiste mit einer Kantenlänge von 1 Meter geradenoch durchpasst? (Kistenkante berührt Leiter)
Viel Spaß beim Rechnen!
Gruß
Jochen
Eine Leiter ist 7 Meter lang. In welchem Winkel muß ich sie an
die Wand stellen, damit eine würfelförmige Kiste mit einer
Kantenlänge von 1 Meter geradenoch durchpasst? (Kistenkante
berührt Leiter)
Wenn a das Leiterstück unterhalb der Kistenkante und b der Rest der Leiter und x der gesuchte Winkel zwischen Boden und Leiter ist, dann ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
Dieses Gleichungssystem ist liefert zwei sinnvolle Lösungen: x = 9,61709° bzw. x = 80,38250°.
PS: Es gibt zwar eine algebraische Lösung, aber sie ist zu umfangreich, um sie hier zu posten.
Obwohl viele Leute sagen es ist unmöglich zu berechnen.
Naja, wenn es eine geometrische Loesung gibt, kann man sie auch berechnen. Ueber Aehnlichkeitssatz und Pythagoras komme ich auf ein Polynom 4.Grades, dessen Nullstellen ich berechnen muss. Eine graphische Loesung ergibt dann einen Abstand der Leiter von der Wand (oder vom Boden) von 1,1682 Metern.
Gruss Moriarty
- a+b = 7 (Länge der Leiter)
- a*sin(x) = 1 (Höhe der Kiste)
- b*cos(x) = 1 (Breite der Kiste)
auf das kam ich auch noch… aber ich traute mich nicht die lösung durch ti92 zu posten +gg*. gibts ne seite wo die algebraische lösung erklärt wird?
mfg
Greenberet
Hallo,
ich hab folgende Seite gefunden:
http://home.t-online.de/home/bigbandi/dokus/leiter/
erklärt ist aber vielleicht etwas übertrieben…
Ciao
Jochen
War hier schonmal, habs mir damals gespeichert:
Lösung 1:
|
|
\_|
|\
| \
| \
x| \_\_\
|| |\
||\_\_| \
-+----------
| y |
Wenn man mit dem Strahlensatz arbeitet:
x = Höhe der Leiterspitze an der Wand
y = Abstand des Leiterfußes zur Wand
Dann ist:
10^2 = x^2 + y^2
Und:
(x-1) / 1 = x / y
Die Aufgabe führt zu folgender Gleichung 4. Grades:
x^4 - 2x^3 - 98x^2 + 200x - 100 = 0
Ergebnis:
H1 = 9.938 m
H2 = H1 / (H1-1) = 1.112 m
Diese beiden Lösungen sind komplementär, die anderen beiden Möglichkeiten
scheiden aus.
Lösung 2:
Hier ein Lösungsweg, der mit (bi)quadratischen Gleichungen auskommt:
|
|
\_|
|\
| \
x| \_\_ M
\_| \_\_\_\_ d
|| |\
||\_\_| \
+----------
| y|
Sei M der Mittelpunkt der Leiter (also bei 5 Metern), d der Abstand von M zum
Auflagepunkt der Leiter auf den Würfel, x der Abstand von Würfeloberkante zum
Punkt, wo die Leiter an die Wand stößt, y der Abstand zwischen Würfel und
unterem Leiterauflagepunkt.
Gesucht ist die Höhe x+1.
Wir haben drei ähnliche Dreiecke: Ein großes, ein oberes und ein unteres.
Ähnlichkeitsbetrachtungen zwischen dem oberen und dem unteren liefern uns: x/1 =
1/y, also
A) x = 1/y
und damit insbesondere durch Multiplikation mit x \* y \* y auf beiden Seiten:
A2) x^2 \* y^2 = 1 (das brauchen wir später)
Pythagoras am oberen Dreieck:
die erste Kathete = 1, nämlich die obere Seite der Kiste,
die zweite Kathete = x, so wurde die Strecke oben gewählt
die Hypotenuse = 5 + d, also die obere Hälfte der Leiter (5 Meter) und das Stück
von der Mitte M bis zum Berührpunkt mit der Kiste.
Der Pythagoras davon: 1^2 + x^2= (5 + d)^2
1 abziehen auf beiden Seiten gibt
B) x^2 = (5 + d)^2 - 1 oder schöner:
B2) x^2 = (6 + d) \* (4 + d) (dritte binomische Formel: a^2 - b^2 = (a + b) \*
(a - b))
Pythagoras am unteren Dreieck liefert analog
C) y^2 = (5 - d)^2 - 1 bzw
C2) y^2 = (6 - d) \* (4 - d)
B2 und C2 multiplizieren und auf der linken Seite A2 ausnutzen liefert
1 = (6 + d) \* (4 + d) \* (6 - d) \* (4 - d)
daraus wird durch umsortieren und 3. binom. Formel
1 = (6^2 - d^2) \* (4^2 - d^2
Substitution u = d^2 ergibt die quadratische Gleichung
1 = (36 - u) \* (16 - u)
bzw:
u^2 - 52u + 575 = 0
Auflösen liefert u:
u1 = 26 + Wurzel(101) = 36.049876...
u2 = 26 - Wurzel(101) = 15.950124...
Daraus die Wurzel, sas ist die Substitution von oben, nur rückwärts, liefert d.
Es gibt jetzt natürlich zwei Möglichkeiten, die Wurzeln zu ziehen und
letztendlich ist nicht nur die positive, sondern auch die negative Wurzel eine
mathematisch korrekte Lösung der Gleichung D.
Es gibt jetzt also:
d11 = + Wurzel(u1) = + Wurzel(26 + Wurzel(101)) = + 6.0041549...
d12 = - Wurzel(u1) = - Wurzel(26 + Wurzel(101)) = - 6.0041549...
d21 = + Wurzel(u2) = + Wurzel(26 - Wurzel(101)) = + 3.9937607...
d22 = - Wurzel(u2) = - Wurzel(26 - Wurzel(101)) = - 3.9937607...
Natürlich erwartet man das der Abstand zwischen der Mitte der Leiter und der
Kante der Kiste immer größer als Null ist, also sind die Lösungen d12 und d22
zwar mathematisch erlaubt, aber physikalisch nicht sinnvoll.
B) liefert x:
d11 liefert mit B: x11 = Wurzel((5 + d11)^2 - 1) = Wurzel((5 + Wurzel(26 +
Wurzel(101)))^2 - 1) = 10.958623...
d21 liefert mit B: x21 = Wurzel((5 + d21)^2 - 1) = Wurzel((5 + Wurzel(26 -
Wurzel(101)))^2 - 1) = 8.9379937...
(Dabei sind die negativen Wurzeln gleich weggelassen, weil man mit der Leiter
ja hinauf und nicht hinunter steigen will.)
Hier lässt sich jetzt das Ergebniss x11 ausschließen, denn mit einer zehn Meter
langen Leiter kann man nicht fast 11 Meter klettern.
1 dazuzählen liefert die gesuchte Höhe:
h = 1 + Wurzel((5 + Wurzel(26 - Wurzel(101)))^2 - 1)
h = 9.9379937....
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
- a+b = 7 (Länge der Leiter)
- a*sin(x) = 1 (Höhe der Kiste)
- b*cos(x) = 1 (Breite der Kiste)
auf das kam ich auch noch… aber ich traute mich nicht die
lösung durch ti92 zu posten +gg*. gibts ne seite wo die
algebraische lösung erklärt wird?
Das ist eigentlich nur Fleißarbeit. Ich habe es folgendermaßen gemacht:
Aus 1. folgt
b = 7 - a
aus 2. folgt
a = 1/sin(x)
und den Cosinus in der dritten Gleichung kann man gemäß sin²(x)=1-cos²(x) in einen Sinus verwandeln.
Setzt man das alles in die dritte Gleichung ein, dann erhält man
(7-1/sin(x))*√(1-sin²(x)) = 1
Jetzt substituieren wir y=sin(x) und erhalten nach einigem Umformen:
0 = -49y4 + 14y3 + 47y2 - 14y + 1
Darauf läßt man dann die Cardanischen Formeln los uns erhält als einzig sinnvolle Lösung
y = 0,16706
bzw.
x1 = arcsin(y) = 0,16785 und
x2 = π - arcsin(y) = 2,97374.
Danke [o.T.]*sterngeb*
o.T.=ohne Text