Moin zusammen.
Das Lemma von Zorn besagt doch, dass wenn X (keine leere Menge) eine geordnete Menge ist, in der jede vollständig geordnete Teilmenge eine obere Schranke besitzt - dann besitzt X auch mindestens ein maximales Element.
Ich muss zugeben, dass ich mich nicht großartig eingelesen habe, aber ist das nicht eigentlich falsch, denn wenn X=(1,2)={x € IR : 1 x, (wobei x wieso wird das Axiom dann verwendet - und für welche Beweise? In den Beweisen, wo dieses Axiom dann verwendet wird, dürfte es doch keine Rolle spielen, ob es ein Maximales Element gibt oder nicht.
Ich habe da jetzt auch keine Literatur, in der das Lemma erwähnt wird…Und der größte Fan von Wikipedia bin ich auch nicht. Kann also mal jemand das Lemma kommentieren?
Schönen zweiten Weihnachtstag wünsche ich euch noch (falls das denn dann noch up2date ist)
Liebe Grüße
Disap
hi,
zunächst:
http://de.wikipedia.org/wiki/Zorns_Lemma
Das Lemma von Zorn besagt doch, dass wenn X (keine leere
Menge) eine geordnete Menge ist, in der jede vollständig
geordnete Teilmenge eine obere Schranke besitzt - dann besitzt
X auch mindestens ein maximales Element.
ja, wenn du unter „geordnet“ das verstehst, was der wikipedia-artikel „halbgeordnet“ nennt. aber die begriffsbildungen im bereich ordnung sind - nun ja: - etwas unordentlich.
Ich muss zugeben, dass ich mich nicht großartig eingelesen
habe, aber ist das nicht eigentlich falsch, denn wenn
X=(1,2)={x € IR : 1 x, (wobei x
nachtrag
Da dieses Lemma ein Axiom ist, ist es auch nicht bewiesen. Ich
habe gehört, dass es trotzdem für einige Beweise verwendet
wird.
naja: zorns lemma ist kein axiom, sondern ein lemma - also ein „hilfssatz“.
man kann es aber als axiom verwenden … denn:
ja - es ist gezeigt worden, dass zorns lemma zum auswahlaxiom
und zum „wohlordnungssatz“ äquivalent ist. ich persönlich habe
das auswahlaxiom immer als intuitiv recht einleuchtend
empfunden, während der wohlordnungssatz mir gar nicht intuitiv
vergekommen ist. aber sieh da: alle 3 sind gleichwertig. wer
das auswahlaxiom akzeptiert, darf zorns lemma verwenden, muss
aber auch das wohlordnungsprinzip „schlucken“.
du kannst also die aussage von zorns lemma als axiom verwenden und bekommst dann das auswahl-„axiom“ als aussage / „satz“ zurück.
axiome sind nie bewiesene dinge. unter einem axiom versteht man eine grundannahme, die man ohne beweis akzeptiert. zorns lemma ist keines, kann aber im austausch mit anderen sätzen als axiom verwendet werden.
du findest einiges dazu unter
http://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom
m.
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