Wer kann mir sagen was Leontief Matrizen sind? Haben die besondere Eigenschaften? Wenn ja, welche? Danke, Georg
Wer kann mir sagen was Leontief Matrizen sind? Haben die
besondere Eigenschaften? Wenn ja, welche? Danke, Georg
Hi,
ich bin zwar kein Ökonom, aber mathematisch gesehen sind Lentief Matrizen, Matrizen mit besonderen Eigenschaften, die in der Form L:=I-B stehen (I = Einheitsmatrix).
Hat man zB. ein Gleichungssystem: Ax=b, so kann dies (falls eindeutig lösbar) nach dem Vektor x aufgelöst werden x = A-1b
Die Inverse bei zB 100x100 Matrizen zu berechnen ist (zumind. für damalige Verhältnisse) etwas aufwendig. Um Approximative Lösungen zu finden, kann man das Gl-System umformen:
Ax=b => (I-B)x=c => x=(I-B)-1c
(I-B) muß so beschaffen sein, daß alle Elemente kleiner als Eins sind.
Es gilt:
(I-B)-1 = I + B + B2 + B3 + …
Bn geht gegen Null für n gegen unendlich, da alle Elemente kleiner als Eins sind.
Die Näherungslösung(en) lautet etwa:
x =~ (I+B)c bzw. x =~ (I+B+B2)c usw.
Gruß Frank
in der Form L:=I-B stehen (I = Einheitsmatrix).
Hat man zB. ein Gleichungssystem: Ax=b, so kann dies (falls
eindeutig lösbar) nach dem Vektor x aufgelöst werden x =
A-1b
(I-B) muß so beschaffen sein, daß alle Elemente kleiner als
Eins sind.
Fast, die Zeilensummen der Betr"age alle kleiner eins oder die Summe "uber das Maximum der Spalten kleiner eins oder die Quadratsumme "uber alle Matrixelemente kleiner eins, kurz, irgendeine Matrixnorm muss kleiner eins werden, so dass ||Bx||-1 = I + B + B2 + B3 +…
auch mit dem Namen von Neumann verbunden
kann beschleunigt werden zu
…(I+B8)(I+B4)(I+B2)(I+B)
Das entspricht dem gel"aufigen Nachiterieren von L"osungen eines Gleichungssystems, es kann ein gr"osserer Fehler r=b-Ax durch akkumulierte Rundung entstehen, also l"ost man noch Au=r und verwendet x+u als bessere L"osung, und dann wieder von vorn.
In diesem Fall nimmt man f"ur die gen"aherte Inverse einfach I
x=b: Fehler Bb, verbessert b+Bb
x=(I+B)b, Fehler b-(I-B)(I+B)b=B2b, verbessert b+Bb+B2b
x=(I+B+B2)b, Fehler B3b,…
verbessert man in "ahnlicher Weise die Inverse, kommt die beschleunigte Version raus. Suche C(I-B)=I, finde C(I-B)=I+R,
nutze (I-R)C als verbesserte Inverse, mit (I-R)C(I-B)=I-R2, was bei kleinem R den Fehler verkleinert
C=I, Fehler C(I-B)=I-B
C=I+B, Fehler (I+B)(I-B)=I-B2
C=(I+B2)(I+B), Fehler I-B4
Ciao Lutz