Zur Vereinfachung rechne ich mit C = 300.000 km/s.
Ein unbewegter Zylinder hat eine Länge von 300.000 km. Daraus
folgt, daß ein Photon genau 1 Sekunde vom Anfang bis zum Ende
des Zylinders benötigt.
Du hast also ein Bezugssystem B, in dem der Zylinder ruht und 300000 km lang ist
Als nächstes wird der Zylinder auf
eine Geschwindigkeit von 150.000 km/s beschleunigt.
Jetzt bewegt sich derselbe Zylinder mit v=150000 m/s in B.
Eine
Person, die sich mit dem Zylinder bewegt, wird immer noch eine
Zylinderlänge von 300.000 km messen.
Diese Person ruht also in einem Bezugssystem B’, das sich mit u=-150000 km/s gegenüber B bewegt und in dem der Zylinder ruht und weiterhin 300000 km lang ist.
Die Konstanz der
Lichtgeschwindigkeit wäre bewiesen, wenn die Person auch nach
der Beschleunigung auf 150.000 km/s feststellen würde, daß ein
Photon genau eine Sekunde benötigt, um vom Anfang bis zum Ende
des Zylinders zu gelangen.
So ist es.
Da sich das Ende des Zylinders vom Photon wegbewegt, benötigt
das Photon mehr Zeit, um zum Ende des Zylinders zu gelangen.
Da sich der Zylinder bewegt, bezieht sich diese Aussage offenbar wieder auf das Bezugssystem B.
Wegen der Längenkontraktion und weil sich im bewegten System
die Zeit verlangsamt, braucht das Photon weniger Zeit, um zum
Ende des Zylinders zu gelangen.
Wenn das bewegte System das Bezugssystem B’ ist, in dem der Zylinder ruht, gibt es dort keine Längenkontraktion. Der Zylinder wird im Bezugssystem B kürzer, in dem er beschleunigt wurde. Genau wie die Zeitdilatation wird die Längenkontraktion immer im jeweils anderen Bezugssystem beobachtet. Alles, was in B ruht, ist aus Sicht von B’ langsamer und kürzer. Umgekehrt ist aus Sicht von B alles langsamer und kürzer, was in B’ ruht.
Insgesamt sollte das Photon
auch im bewegten System genau eine Sekunde benötigen.
Ja, das hast Du oben schon geschrieben. In B’ sollte das Photon genauso lange vom Anfang bis zum Ende des dort ruhenden Zylinders brauchen, wie in B, bevor der Zylinder beschleunigt wurde.
Der Zylinder verkürzt sich um den Faktor 0,866 auf eine Länge
von 259.807 km.
Das bezieht sich jetzt offenbar wieder auf das Bezugssystem B, in dem sich der Zylinder bewegt.
Wegen dieser Verkürzung benötigt das Photon
nur noch 0,866 Sekunden um den Zylinder zu durchqueren.
Nein. Das Photon würde 0,866 Sekunden brauchen, wenn der 259807 km lange Zylinder ruhen würde. Er bewegt sich aber mit 150000 km/s vom Photon weg. Das Licht braucht also länger.
Auf
dem Zylinder gehen die Uhren um den Faktor 1/0,866 langsamer.
Von B aus gesehen schon, aber von B’ aus gesehen gehen sie um denselben Faktor schneller.
Das Photon hat also mehr Zeit um den Zylinder zu durchqueren.
Nein, es braucht mehr Zeit.
Daraus folgt insgesamt, das Photon könnte im bewegten System
den Zylinder bereits in 0,75 Sekunden durchqueren.
Wie kommst Du darauf? Du hast doch oben richtig geschrieben, daß das Photon im bewegten System B’ eine Sekunde braucht, wenn das Licht sich dort mit 300000 km/s bewegt. Da Du bisher nichts vorgebracht hast, was dieser Annahme widerspricht, ist Deine Annahme, das Licht bräuchte weniger Zeit, unzulässig. Woraus soll das folgen?
In einer
Sekunde bewegt sich das Photon im bewegten System 86.602 km
weiter, als der verkürzte Zylinder lang ist.
Der Zylinder ist im bewegten System aber nicht verkürzt. Die Verkürzung findet im unbewegten System B statt, in dem sich der Zylinder bewegt.
Da sich der Zylinder mit einer Geschwindigkeit von 150.000
km/s bewegt, entfernt sich das Ende des Zylinders vom Photon.
Jetzt bist Du wieder im unbewegten System.
Da die Uhren im bewegten System langsamer gehen, sind es sogar
173.205 km/s im bewegten System.
Nein. Im bewegten System B’ ruht der Zylinder.
Ich bin mir nicht sicher, ob
nur der Zylinder verkürzt wird oder auch der durchquerte Raum.
Es wird alles verkürzt, was sich bewegt. Das gilt auch für den Raum. Im Gegensatz zum Zylinder ist das beim Raum aber nicht so einfach feststellbar.
Das Photon erreicht das Ende im bewegten System genau dann in
1 Sekunde, wenn sich das Ende des Zylinders in dieser Zeit um
86.602 km vom Photon wegbewegt.
Siehe oben: Im Bewegten System bewegt sich das Ende des Zylinders nicht.
Lösung 1: Nur der Zylinder ist verkürzt. Daraus folgt, das
Ende des Zylinders bewegt sich um 173.205 km/s vom Photon weg.
Das gilt weder in B, noch in B’.
Lösung 2: Auch der durchquerte Raum ist verkürzt. Daraus
folgt, das Ende des Zylinders bewegt sich um 150.000 km/s vom
Photon weg.
Das gilt in B.
Lösung 1 und Lösung 2 sind von 86.602 km/s verschieden, so daß
die bewegte Person nicht 1 Sekunde messen kann, wenn das
Photon das Ende des Zylinders erreicht. Wo ist der Fehler?
Wie ich bereits sagte, würfelst Du Größen aus verschiedenen Bezugssystemen wild durcheinander. Ich versiche da mal ein wenig Ordnung reinzubringen:
Wir haben also ein Bezugssystem B, in dem sich ein Zylinder mit v=150000 km/s parallel zu seiner Längsachse bewegt. Dann haben wir ein Bezugssystem B’, das mit u=-v gegenüber B bewegt ist. In B’ ruht der Zylinder (v’=0) und hat eine Länge von l’=300000 km.
Jetzt wird in B von einem Ende des Zylinders in dessen Bewegungsrichtung ein Photon abgesandt und die Zeit Δt gemessen, die es bis zum anderen Ende benötigt. Für das Photon gilt dann die Bewegungsgleichung
xP = c·t
und für das andere Zylinderende
xZ = l + v·t
Wenn das Photon am anderen Ende eintrifft, gilt
xP = xZ = c·Δt1 = l + v·Δt1
Daraus folgt
Δt1 = l/(c-v)
Es fehlt allerdings noch die Länge l des Zylinders in B. Die können wir aber aus der Länge l’ in B’ berechnen. Wegen der Bewegung von B’ gegenüber B gilt
l = l’·√(1-u²/c²)
und wegen u=-v folgt daraus
Δt1 = l’·√(1-v²/c²)/(c-v)
Das ergibt Δt=1,73 s.
Aus Sicht des Bezugssystems B’ stellt sich der gesamte Vorgang wesentlich einfacher dar. Hier ruht der 300000 km lange Zylinder und das Licht braucht mit 300000 km/s genau eine Sekunde von einem Ende bis zum anderen.
Jetzt wirst Du Dich vermutlich fragen, warum die Zeiten nicht der relativistischen Zeitdilatation gehorchen. Das liegt daran, daß die Zeitdifferenz bei diesem Gedankenexperiment notwendigerweise aus Zeiten resultieren, die innerhalb der jeweiligen Bezugssysteme an verschiedenen Orten und daher mit verschiedenen Uhren gemessen wurden. Die Zeitdilatation bezieht sich dagegen nur auf die Geschwindigkeit jeweils einer Uhr in jedem Bezugssystem. Würde man die Zeiten nur mit jeweils einer Uhr messen (z.B. am Zylinderanfang), müsste man die Relativität der Gleichzeitigkeit berücksichtigen.
Man kann das Experiment aber so modifizieren, daß man auch ohne Berücksichtigung der Gleichzeitigkeit mit nur einer Uhr pro Bezugssystem auskommt. Dazu lässt man das Licht am Ende des Zylinders zurück reflektieren und mißt die Zeit, die es benötigt, um wieder zum Ausgangspunkt zurück zu kehren. Die Zeit für den Hinweg habe ich ja schon berechnet. Für den Rückweg gehe ich genauso vor, nur dass sich das Photon diesmal vom Stabende in die entgegengesetzte Richtung bewegt. Dann gilt für das Photon im Bezugssystem B
xP = l - c·t
und für den Zylinderanfang
xZ = v·t
und somit
xP = xZ = l - c·Δt2 = v·Δt2
Δt2 = l/(c+v)
Die Zeit für den Hin- und Rückweg beträgt also insgesamt
Δt = Δt1 + Δt2 = 2·c·l/(c²-v²)
und wegen der Längenkontraktion
Δt = 2·c·l’·√(1-v²/c²)/(c²-v²) = 2·l’/√(c²-v²)
Und im bewegten System B’ braucht das Licht natürlich die Zeit
Δt’ = 2·l’/c
Damit gilt für das Verhältnis beider Zeiten
Δt/Δt’ = 1/√(1-v²/c²)
und das ist die relativistische Zeitdilatation.
