Hallo,
ich weiß, wie man den limes berechnet, wenn x–>oo (größte potenz ausklammern u.s.w.).
Aber wie berechnet man folgende aufgabe?
lim ( x^3 - 2x^2 + 2x - 4 ) / ( x^2 - x - 2 )
x->2
Hi.
lim ( x^3 - 2x^2 + 2x - 4 ) / ( x^2 - x - 2 )
x->2
Das geht nach der Regel von l’Hospital:
Du leitest einfach Zähler und Nenner ab.
Das gibt:
lim (3x^2 -4x +2)/(2x-1)=6/5
x->2
wenn ich micht nicht verrechnet hab.
Gruß
Oliver
besseres ergebniss?
Hi
ich meine du hast dich verrechnet und man muß ein weiteres mal ableiten, dann erhält man:
lim (6x-4)/2=3x-2=4
x->2
wenn’s nicht stimmt, dann sorry
Gertfried
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Z und N solange ableiten, wie 0/0 ergibt,
Hi, folks!
lim ( x^3 - 2x^2 + 2x - 4 ) / ( x^2 - x - 2 )
lim (3x^2 -4x +2)/(2x-1)=6/5
x->2
Haste also recht, denn hier kommt ja (3*4 -4*3+2)/3 =2/3 heraus
(also nicht 6/5 !!!
Hi
ich meine du hast dich verrechnet und man muß ein weiteres mal
ableiten, dann erhält man:
lim (6x-4)/2=3x-2=4
x->2
wenn’s nicht stimmt, dann sorry
„Granted“!
Außerdem haben Zähler und Nenner in solchen Fällen ja immer auch eine gemeinsame Nullstelle (hier x = 2); und wenn man die findet, darf man auch durch den entsprechenden Linearfaktor (hier [x-2]) kürzen ("stetig fortsetzbar).
Sozusagen „anstelle von Hôpital“.
( x^3 - 2x^2 + 2x - 4 ) / ( x^2 - x - 2 ) =
(x-2)*(x^2 + 2)/{(x-2)*(x+1)} = (x^2+2)*(x+1), = wie gesagt fx=2
Herzlichst, manni
Aber wie berechnet man folgende aufgabe?
lim ( x^3 - 2x^2 + 2x - 4 ) / ( x^2 - x - 2 )
x->2
Hallo Miriam,
Du hast zwei Möglichkeiten.
Möglichkeit 1 :
Zunächst erkennst Du, daß sich bei x = 2 der Bruch „0/0“ ergibt. Anders ausgedrückt: Sowohl die Zähler- als auch die Nennerfunktion hat bei x = 2 eine Nullstelle, und das bedeutet, daß Du aus beiden den Linearfaktor x – 2 abspalten kannst:
( x^3 - 2x^2 + 2x - 4 ) = (x-2) * irgendwas
( x^2 - x - 2 ) = (x-2) * ein_weiteres_irgendwas
Das „irgendwas“ muß dabei in Polynom vom Grad 2 sein, das ich pz(x) nenne („z“ für Zähler), das „ein_weiteres_irgendwas“ ein Polynom vom Grad 1, das ich pn(x) nenne („n“ für Nenner). Also:
( x^3 - 2x^2 + 2x - 4 ) = (x-2) * pz(x)
( x^2 - x - 2 ) = (x-2) * pn(x)
Würdest Du pz(x) und pn(x) kennen, wäre Dir sehr geholfen, denn dann könntest Du den Limes folgendermaßen berechnen:
lim ( x^3 - 2x^2 + 2x - 4 ) / ( x^2 - x - 2 )
x->2
= lim (x-2)*pz(x) / ((x-2)*pn(x))
x->2
[Hier der entscheidende Schritt: (x-2) herauskürzen!]
= lim pz(x)/pn(x)
x->2
Wenn nun pz(x) und pn(x) nicht wieder „0/0“ ergeben, bist Du so gut wie fertig, denn dann gilt einfach:
= lim pz(x)/pn(x) = pz(2)/pn(2)
x->2
Sofern sich unglücklicherweise doch wieder „0/0“ ergibt, mußt Du die Prozedur des Linearfaktor-Abspaltens wiederholen.
Noch schuldig bin ich Dir die Antwort auf die Frage, wie man aus den Gleichungen
( x^3 - 2x^2 + 2x - 4 ) = (x-2) * pz(x)
( x^2 - x - 2 ) = (x-2) * pn(x)
die gesuchten Polynome pz(x) und pn(x) erhält. Antwort: Durch Polynomdivision:
pz(x) = ( x^3 - 2x^2 + 2x - 4 ) / (x-2)
pn(x) = ( x^2 - x - 2 ) / (x-2)
Wie die Polynomdivision genau funktioniert, schaust Du am besten in Deinem Mathebuch nach.
Möglichkeit 2 :
Wie Oliver schon sagte, durch Anwenden der Regel von de l’Hospital. Die Voraussetzung dafür ist gerade, daß sich so ein Bruch „0/0“ ergibt. Die Regel selbst besagt, daß der Wert des Limes derselbe bleibt, wenn Du den Zähler und den Nenner je einmal ableitest, also hier:
lim ( x^3 - 2x^2 + 2x - 4 ) / ( x^2 - x - 2 )
x->2
=lim ( 3 x^2 - 4x + 2 ) / ( 2x - 1 )
x->2
Jetzt hast Du kein „0/0“ Problem mehr, denn Zähler und Nenner ergeben beide nicht 0 für x = 2. Deshalb darfst Du die de l’Hospitalsche Regel jetzt auch nicht nochmal anwenden, wie Gertfried es vorschlug; wenn Du es tätest, würdest Du ein falsches Ergebnis bekommen.
Die weitere Rechnung ist ein Klacks:
=lim ( 3 x^2 - 4x + 2 ) / ( 2x - 1 )
x->2
= ( 3*2^2 - 4*2 + 2 ) / ( 2*2 - 1 )
= 6/3
= 2
Fertig.
Es gibt übrigens eine einfache Möglichkeit, Dein Ergebnis zu kontrollieren. Dazu denkst Du Dir eine Zahl aus, die auf dem Weg „x –> 2“ schon sehr weit gekommen ist, z. B. 1.99. Dann rechnest Du einfach den Bruch ( x^3 - 2x^2 + 2x - 4 ) / ( x^2 - x - 2 ) für x = 1.99 aus. Das Ergebnis sollte dann auch nahe am exakten Ergebnis liegen, und das tut es auch: 1.9933444816… Hier ist jedoch eine Warnung angebracht: Es gibt „besonders böse“ Fälle, in denen diese Probe versagt. Also „mit Vorsicht genießen“!
Mit freundlichem Gruß
Martin
lim (3x^2 -4x +2)/(2x-1)=6/5
x->2wenn ich micht nicht verrechnet hab.
Jetzt hab ich mich also doch verrechnet… für den Nenner kommt natürlich 3 raus nicht 5. Also ist das Ergebnis 6/3=2.
Sorry… war schon müde.
Gruß
Oliver
Schön gutten Tach!
lim (3x^2 -4x +2)/(2x-1)=6/5
x->2Haste also recht, denn hier kommt ja (3*4 -4*3+2)/3 =2/3
Das heißt aber -4*2 und nicht -4*3 , also kommt 6/3 = 2 raus.
Und nicht 6/5 und auch nicht 2/3!!!
LOL, die Aufgabe hat’s wohl in sich! 
Gruß
Oliver
1 „Gefällt mir“
eine 2 für 2…
bloß, wo kommt meine 3 her?
Hab ich natürlich absichtlich einebaut, den Fehler!
(hüstelhüstel, ähem).
Ernst beiseite:
Ich such immer noch Leute zum Mitzetern, und bei dieser Gelegenheit, Miriam und Froinde,
wieso ist lim{([1+x]*[1+2x]-1)/x}, x -> 0, = 3???
Sonnmittaggliche Krüße, moin, manni
nenner und zähler ableiten:
lim 1+2x+2+x=3+3x
x->0
für x=0 3+3x=3
nur so mal gesagt
Gertfried
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
und keinshochkeinshochkeinshoch…?
Klasse, richtich „hôpitalisiert“, Gertfried".
Und (ätsch!!!) nicht hingeknallt, obwohl aufs Glatteis geführt! Warum kommstunich auffe Idee, das einfach erstmal auszuklammern? Oder bisscho?
(dies mein posting ist aber wieder länger als geplant und nur Stück für Stück näherbar - und denn auch noch die Frage von Anne!)
lim{([1+x]*[1+2x]-1)/x}, x -> 0 gleich
lim{(1 + 3x + 2x^2 - 1)/x}, x -> 0, gleich
lim{(3x + 2x^2)/x}, x -> 0, gleich
lim{(3+2x)}, x -> 0, gleich lim{3)}+lim{2x}, x -> 0 =3+0
Spaß komm wech!
Der kürzeste Weg, den SINUS abzuleiten:
lim{(sin[x+deltax]-sin[x])/deltax} =
lim{(sinxcosdeltax + cosx*sindeltax - sinx)/deltax}, alles für delta x --> 0, =
lim{cosx*sindelta[x]/deltax} = cos[x].
„Haste ja Ergebnis schon vorausgesetzt“, „Tautologie“???
Nee, ich habe nur das Additionstheorem (woanders her, nicht erst aus der „Eulerschen Formel“) und die am Einheitskreis offenbare wachsende Identität von sin[x] und x für x --> 0 benutzt!
UND NOCH: Einer meiner 2 ziemlich eigenen Wege zum „Knacken“ von Zeta2 = S(1/m^2), m --> oo :
- Summe --> Produkt:
S(1/m^2) = lim(S{x^2/m^2})/x^2, x–>0, =
lim{(1 - [1 - S{x^2/m^2}])/x^2} =
lim{(1 - Prod[1-x^2/m^2])/x^2}, x --> 0, 00 verschwinden), wo das Produkt das „Sinusprodukt“, sin[x*pi]/[pi*x] ist.
(Dies aus Betrachtung der Linearfaktorisierung des Sinus!!!)
Bei „höheren“ Zetawerten/Exponenten, wo es diese Sinusprodukt-Einsatzmöglichkeit gibt, hilft da die Gammafunktion weiter. Bei geraden Exponenten (negatv-konjugierbar) dann wiederum die Sinusfunktion, auch daher sind alle Zeta(2k) „lösbar“. („Bernouilli-formel“!)
Und was bringt nun der „Hôpital“, auf obigen Limes für x—>0 ???
lim{(1 - sin[pi*x]/[pi*x])/x^2} =
umstellen und ausklammern:
[-1/pi]*lim{(sin[pi*x]/x - pi)/x^2} =
Erstemal Hôpital:
[-1/pi]*lim{(x*pi*cos[pix] - sin[pix])/x^2/2x} =
umstellen:
[1/pi]*lim{(sin[pix] - x*pi*cos[pix])/2x^3} =
Zweitemal Hôpital und pi kürzen:
lim{(cos[pix] - cos[pix] + xpi*sin[pix])/6x^2} =
lim{(xpi*sin[pix])/6x^2} =
Drittemal Hôpital:
lim{(pi*sin[pix] + xpi^2*cos[pix])/12x} =
Viertemal Hôpital:
lim{(pi^2*cos[pix] + pi^2*cos[pix] - xpi^3*sin[pix])/12} =
lim{(2*pi^2*cos[pix] - xpi^3*sin[pix])/12} = pi^2/6 !!!
Von hier aus gehts auf dieselbe Weise flott aufwärts, aber Zeta(4) = S{1/m^4} läßt sich aus Zeta(2) = pi^2/6 auch wieder einfacher „binomisch“ ableiten, denn
S{1/m^4} = (S{1/m^2})^2 - 2*S{1/[m1*m2]^2}, m1 ugl m2, =
pi^4/36 - 2*pi^4/5!
(letzteres aus dem Vergleich mit der Sinusreihe!) =
10*pi^4/360 - 6*pi^4/360 = 4*pi^4/360 = pi^4/90, die (ziemlich) bekannte Formel.
Und mit „meiner“ Methode der „Diversitätserweiterung“ (nach der Vietaschen Methode der Koeffizientenbestimmung aus der Linearfaktoren-Ausmultiplizierung) ergeben sich alle weiteren „geraden“ Zetawerte rekursiv.
NEUES THEMA: ENDLICHE (NATÜRLICHE) POTENZSUMMEN:
Diese Methode hier der Bestimmung von Summe{m^k}, 10, = lim{e^(xln[x])} = 0, weil lim{x*ln[x]} = lim{ln[x]/(1/x)} = hôpitalisch lim{1/x/(-1/x^2)} = lim{-x} = 0,
und lim{x^0},x->0, =lim{1} =1, denn x^0 =1 f.allexulei0.
Aber was ist 0^0^0^0^0^^^^^^, unendlich oft „null aufgebockt“. Wenn es konvergiert, also zB gegen z, dann muß ja gelten 0^z = z, oder? Also 0 = z^[1/z].
Und die Funktion y = z^[1/z] ist für z -> 0 stetig fortsetzbar zu 0^[1/0] = 0. Also ist die „Hochfolge“ Hf(0) = 0, so gesehen.
Und wenn 0^0 = 1, dann ist aber 0^0^0 = 0^1 = 0, und 0^0^0^0 = 0^1 = 0 wieder. Und 0^0^0^0^0 = 0^0 = 1. ???
Also oszilliert 0^0^0^0^^^^? Hält schön warm, du 0 !!!
Ganz extrem flippt i^i^i^i^^^^^^ herum, und Hf(1/4)=1/2
und Hf(1/27) = 1/3, aber auch nur „oszillierend“.
Für mich ist die (reine) Mathematik v.a. ein Spiel, auch und gerade als Matheamter im Schuldienst.
Ciaoa, moin, manni