Linear abhängig (unabhängig) - Linearkombination?

Wissenschaft Mathematik
1

Hallo zusammen
Vielleicht kann mir jemand helfen ich dachte schon ich hätte das System der Linearkombination verstanden und jetzt habe ich wieder Probleme damit.

Grundsätzlich heisst es ja dass in einer zweideminsionalen Ebene R^2 eine Menge von 3 ebenen Vektoren immer linear abhängig ist.
Angenommen ich habe die Vektoren:
a = (1,2)
b = (2,5)
c = (3,8)
s1-s3 steht für skalare

Ich versuche es so gegen 0 aufzulösen:
s1*a1+s2*b1+s3*c1 = 0
s1*a2+s2*b2+s3*s2 = 0
jedoch schaffe ich es nicht diese so aufzulösen
11*1+11*2-10*3 = 3
11*2+11*5-10*8 = -3

11*3+11*7-10*11 = 0
wenn ich sie jedoch addiere ergibt es 0

Ich vermute mein Lösungsweg ist falsch aber gemäss Deffinition sollten sie linear abhängig sein. In meinem Buch habe ich ein Beispiel für 2 zweidimensionale Vektoren welche nicht linear abhängig seien:
a = (1,2)
b = (1,-5)

wenn ich es analog meinem obigen Lösungsbeispiel(mit Addition machen würde wären sie auch wiederum linear abhängig aber im Buch heisst es sie seien es nicht:
s1*a1+s2*b1 = 0
s1*a2+s2*b2 = 0
4*1+3*1 = 7
4*2+3*-5 = -7

4*3+3*-4 = 0

Kann mir jemand helfen?

Herzlichen Dank im Voraus
Brian

2

Hallo Brian,

Angenommen ich habe die Vektoren:
a = (1,2)
b = (2,5)
c = (3,8)
s1-s3 steht für skalare

Ich versuche es so gegen 0 aufzulösen:
s1*a1+s2*b1+s3*c1 = 0
s1*a2+s2*b2+s3*s2 = 0

Du versuchst also, eine nichttriviale Linearkombination der drei Vektoren zu finden, die den Nullvektor ergibt. (Trivial wäre die Lösung s1 = s2 = s3 = 0.) Falls du eine solche Lösung findest, sind die Vektoren linear abhängig.

jedoch schaffe ich es nicht diese so aufzulösen
11*1+11*2-10*3 = 3
11*2+11*5-10*8 = -3

Woher hast du s1 = 11, s2 = 11, s3 = 10 genommen, die du hier eingesetzt hast? Offensichtlich ist das ja gerade keine Lösung des Gleichungssystems. Und damit weiterzurechnen, bringt dich nicht weiter.

Weißt du, wie du lineare Gleichungssystem lösen kannst? (Gaußsches Eliminationsverfahren?)

Ich mache es mal für das zweite Beispiel vor:

In meinem Buch habe ich ein
Beispiel für 2 zweidimensionale Vektoren welche nicht linear
abhängig seien:
a = (1,2)
b = (1,-5)

s1 * a + s2 * b = 0

s1*a1+s2*b1 = 0
s1*a2+s2*b2 = 0

Mit a1 und a2 eingesetzt lautet das Gleichungssystem:

1 s1 +1 s2 = 0 (I)
2 s1 -5 s2 = 0 (II)

Um das zu lösen, multiplizieren wir (I) mit 2

2 s1 +2 s2 = 0

und ziehen sie dann von (II) ab:

 -7 s2 = 0

Damit ist s2 = 0. Eingesetzt in (I) oder (II) erhalten wir auch s1 = 0. Damit existiert nur diese triviale Lösung und die beiden Vektoren sind linear unabhängig.

Nun dir viel Erfolg beim Lösen des ersten Gleichungssystems.

Andreas

3

Hallo Andreas
Danke Dir für Deine Antwort und die Ausführungen. Wie ich mir dachte bin bzw. war ich auf dem falschen Weg.

Nun ich habe die andere Abhängigkeit versucht zu lösen und eine nicht triviale Lösung zu finden.
a=(1,2)
b=(2,5)
c=(3,8)

Ich habe diese dann versucht aufzustellen:
y1 + x2 + z3 = 0 (I)
y2 + x5 + z8 = 0 (II)

Zur Übersichtlichkeit die Skalare weggelassen:
1 + 2 + 3 = 0
2 + 5 + 8 = 0
Dann habe ich auch die Zeile I mit 2 multipliziert:
2 + 4 + 6 = 0
2 + 5 + 8 = 0
Danach von der II.Zeile abgezogen:
2 + 4 + 6 = 0
0 + 1 + 2 = 0
Nun bin ich noch etwas unsicher kann ich die Zeile I komplett
weglassen und nur mit der 2. Zeile weiterfahren?
0 + 1 + 2 = 0
y0 + x1 + z2 = 0
Was sich auflösen liesse wobei y eine beliebige Zahl sein kann.
4*0 + 2*1 -1 * 2 = 0
und ich hätte für x=2 und z=-1
und damit wäre die lineare Abhängigkeit bewiesen.

oder kann ich auch nach:
2 + 4 + 6 = 0
0 + 1 + 2 = 0
Noch weiterfahren indem ich die 2. Zeile mit 4 multipliziere:
2 + 4 + 6 = 0
0 + 4 + 8 = 0
danach von der ersten Zeile subtrahiere:
2 + 0 - 2 = 0
0 + 4 + 8 = 0
und jetzt die Zeilen zusammenzählen:
2 + 4 + 6 = 0
womit ich setzen kann:
1 * 2 + 1 * 4 + (-1) * 6 = 0
damit hätte ich y=1, x=1, z=-1

Ist der erste oder der zweite Lösungsgang richtig?
Sind beide richtig?
Ist der zweite unnötig?
Müssten die Skalare y, x, z nicht in beiden Lösungen übereinstimmen?

Wäre Dir für eine Rückmeldung dankbar.

Herzliche Grüsse
Brian

4

Hi,

Ist der erste oder der zweite Lösungsgang richtig?
Sind beide richtig?
Ist der zweite unnötig?

ich habe mir die Lösungen nicht im Detail angeschaut, aber die können durchaus beide richtig sein. Aber dir reicht für die Entscheidung, ob die Vektoren linear unabhängig sind, ja eine.

Müssten die Skalare y, x, z nicht in beiden Lösungen
übereinstimmen?

Schau mal, was du dort hast: Ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten, aber nur zwei Gleichungen. Das heißt, die Lösung, sofern es eine gibt, wird nie eindeutig bestimmt sein, sondern es gibt viele.

Andreas