Hallo!
Ich weiß nicht, ob es den Zusammenhang wirklich gibt, aber…
Wenn ich ermitteln will, ob n Vektoren lin. abhängig voneinander sind oder nicht, erstelle ich ja ein Gleichungssystem und daraus eine m x n Matrix.
Gibt es nun, wie mir die Idee kürzlich kam, die Möglichkeit, diese Frage allein durch den Rang der Matrix zu beantworten? Also: lin. unabhängig sind die Vektoren nur, wenn der Rang der Matrix auch gleich n ist?
Fragende Grüße
sannah
Hallo Sannah,
Du hast mit Deiner Vermutung völlig recht. Ich kann mal versuchen, Dir auch eine Begründung dafür zu geben. Eine Matrix ist immer gleichzusetzen mit einer linearen Abbildung zwischen Vektorräumen. Nun gibt es für jede Matrix, und damit auch für jede lineare Abbildung zwischen Vektorräumen ein paar charakteristische Kenngrößen. Eine davon ist der Rang. Der Rang beschreibt die Dimension des Bildraumes der Abbildung. Die zweite Kennzahl ist der Defekt, welcher die Dimension des Kerns (des Unterraums des Urbildraums, welcher auf den Nullvektor abgebildet wird). Die Summe aus Rang und Defekt ist immer die Dimension n. Bei einer 3x3-Matrix bedeutet ein Rang von 2 also, das durch die Matrix der dreidimensionale Raum R^3 auf ein zweidimensionales Bild, also eine Ebene abgebildet wird. Der Kern ist dann 3-2=1, womit ein eindimensionaler Unterraum (also eine Gerade) im R^3 existiert, deren Punkte alle durch die Abbildung auf den Nullvektor abgebildet werden.
Ein Gleichungssystem kann jetzt nur dann eindeutig gelöst werden, wenn der Kern die Dimension 0 hat, der Rang der Matrix also der Dimension n entspricht. Eine solche Matrix nennt man wegen dieser hervorragenden Eigenschaft auch regulär. Denn wenn der Kern eine Dimension größer als 0 hat, dann gibt es Vektoren ungleich dem Nullvektor, welche auf den Nullvektor des Bildraumes abgebildet werden. Einen solchen Vektor x könnte ich zu einer gefundenen Lösung y für das Gleichungssystem My=b addieren und hätte wegen der Linearität der Abbildung
M(y+x)=My+Mx=My+0=My=b
wiederum eine Lösung, was der Eindeutigkeit der gefundenen Lösung widerspricht.
Gruß
Ted
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Danke!
Jetzt weiß ich zumindest, dass ich doch noch mathematische Zusammenhänge erkennen kann… *g*
Gruß sannah