Hallo,
ich habe eine Aufgabe zum Thema lineare Abbildungen und obwohl ich mit dem Rest dieses Aufgabenblattes sehr gut klar kam habe ich hier keine Ahnung. Hier die Aufgabe:
Sei f: V–>V linear mit f°f=f. Zeigen sie, dass es Untervektorräume U, W von V gibt mit: V=U+W (direkte Summe), f(w)=0 (für alle w aus W) und f(u)=U (für alle u aus U).
Ich weiß, dass das alles gilt: f(u+w)=f(u)+f(w), f(r*u)=r*f(u) (f ist linear) und f(f(u))=f(u).
Weiterhin weiß ich, dass U+W=V und U durchschnitt W= leere Menge (V=U+W ist direkte Summe) und U,W erfüllen Eigenschaften von Untervektorräumen.
Ich habe leider keine Ahnung wie ich an die Aufgabe rangehe oder was ich überhaupt zeigen will, das sind so viele Bedingungen die gelten müssen. Bin schon leicht verzweifelt… Kann mir jemand helfen?
Vielen Dank!
das sind so viele
Bedingungen die gelten müssen. Bin schon leicht
verzweifelt… Kann mir jemand helfen?
Probier’s doch mal mit einem Widerspruchsbeweis.
Naja, ich weiß ja das es stimmt, dann könnte ich nur annehmen, dass U,W keine Untervektorräume sind für die diese drei Bedingungen gelten.
Muss dann mit einer verneinten Bedingung starten und das zum Widerspruch führen, was noch lange nicht heißt, dass die anderen beiden Bedingungen auch gelten, dann müsste ich also drei Widerspruchsbeweise führen mit drei Gleichungen bei denen ich die Ungleichheit zum Widerspruch führe, was nicht gerade einfach ist, oder? Mir fällt spontan zumindest nicht ein wie. Trotzdem danke für die Idee 
Naja, ich weiß ja das es stimmt, dann könnte ich nur annehmen,
dass U,W keine Untervektorräume sind für die diese drei
Bedingungen gelten.
Die Negation von
Sei f: V–>V linear mit f°f=f. Zeigen sie, dass es UntervektorräumeU,
W von V gibt mit: V=U+W (direkte Summe), f(w)=0 (für alle w aus W)und
f(u)=U (für alle u aus U).
ist doch wohl ein bißchen anders, oder?
nämlich irgendwiesowas wie: Für alle U,W es ex w aus W:f(w)0 oder es ex u aus U f(u) U …
By the way „f(u)=U“ meint f(u) element U oder was?
Naja, wie dem auch sei, da lässt sich doch bestimmt ein Widerspruch draus machen.
hi,
Sei f: V–>V linear mit f°f=f. Zeigen sie, dass es
Untervektorräume U, W von V gibt mit: V=U+W (direkte Summe),
f(w)=0 (für alle w aus W) und f(u)=U (für alle u aus U).
Ich weiß, dass das alles gilt: f(u+w)=f(u)+f(w), f(r*u)=r*f(u)
(f ist linear) und f(f(u))=f(u).
Weiterhin weiß ich, dass U+W=V und U durchschnitt W= leere
Menge (V=U+W ist direkte Summe)
„leer“ ist übertrieben. der 0-vektor ist überall drin.
und U,W erfüllen Eigenschaften
von Untervektorräumen.
erste möglichkeit: f(u) = 0 für alle u aus V.
dann ist U = {0} und als W kannst du V nehmen.
zweite möglichkeit: es gibt ein v aus V mit f(v) 0.
betrachte nun die menge U = f(V). in dieser menge ist f gleich der identität, denn f(f(u)) = f(u) bzw. f(v) = v für alle f(u) bzw. v aus f(U).
diese menge ist ein untervektorraum. (das musst du durchrechnen; mit addition und skalarer multipkikation.) damit hast du U.
nun kannst du jeden vektor v aus V eindeutig darstellen als v = u + w mit u aus U, nämlich w = v - f(v). dann ist f(w) = 0.
konstruiere nun W als menge aller vektoren der form w = v - f(v) für alle v aus V.
das ist auch ein untervektorraum von V. denn sind w1 und w2 aus W, dann ist auch jede linearkombination aus W. (musst du durchrechnen; sowohl summe als auch produkt mit skalar ist in W abgeschlossen.)
U und W haben sicher nur 0 gemeinsam. jeder vektor aus V ist in elemente von U und W aufspaltbar, d.h. U + W = V.
das müsste es in etwa sein.
und wie schauen solche abbildungen f aus? auf ihren bildern sind sie die identität; den rest bilden sie auf 0 ab. man nennt das die projektionen.
m.
Vielen Dank!
Klingt logisch und ist für mich nachvollziehbar. Dann werde ich mich morgen mal hinsetzen und versuchen das alles in eine mathematische Form zu bringen und vor allem immer schön die skalare Multiplikation und die Addition zeigen 
Brauchte genau so eine kleine Anleitung was eigentlich zu tun ist.
Lg