Ich hab in meinen Übungsaufgaben zwei Aufgaben bei denen ich noch nicht mal einen Ansatz habe!Kann mir bitte einer von euch helfen?
1)Sei V=K^(3x3)der Vektorraum aller 3x3-Matrizen über einem Körper K. Zeigen Sie, dass die Abbildung f:V -> K, die durch
f(a11 a12 a13):=a11+a12+a13 (soll eigentllich ne 3x3 Matrix sein also mit a21 bis a33)
definiert ist, eine lineare Abbildung ist. Geben Sie eine Darstellungsmatrix der Abbildung und die Basis von ker f an.
2)Sei V ein dreidimensionaler Vektorraum über R mit der Basis {b1,b2,b3} und sei f: V->V die lineare Fortsetzung von
f(b1)=ab1+b3
f(b2)=b1+cb2
f(b3)=b2+db3
Geben Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung in Abhängigkeit von a,c,d € R dafür an, dass f bijektiv ist.
zur ersten Aufgabe: Eine Abbildung V->R ist dann eine lineare Abbildung, wenn
c*f(x)=f(cx)
f(x)=a11+a12+a13 => cf(x)=ca11+ca12+ca13
cx=(ca11,ca12,ca13)T => f(cx)=ca11+ca12+ca13
da beides gleich ist, ist diese Abbildung zumindest homogen.
f(x+y)=f(x)+f(y)
x+y=(a11+b11, a12+b12, a13+b13)T
=> f(x+y)=a11+b11+a12+b12+a13+b13
f(x)=a11+a12+a13, f(y)=b11+b12+b13
=> f(x)+f(y)=a11+a12+a13+b11+b12+b13
ebenfalls beides gleich, also additiv
=> f ist eine lineare Abbildung
Die Matrix gibt eigentlich an, mit welchen Faktoren die einzelnen Elemente der Matrix in die Linearform eingehen.
In diesem Fall (wenn nur die Elemente aus der ersten Zeile addiert werden) wäre diese Matrix=
(1 1 1)
(0 0 0)
(0 0 0)
Eine Basis ist so definiert, dass die lineare Hülle (also die Menge aller Linearkombinationen) den Vektorraum ergibt:
[{b1,b2,…,bn}]=V
Eine Abbildung hat meines Wissens nach keine Basis, bin mir nicht sicher, ob du dich da nicht verschrieben hast.
Zur zweiten Aufgabe nur so viel: Eine Abbildung ist dann bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist
