Hey Pirat;
1a ) ist trivial; ich weiß nicht, was es da noch groß zum Sagen gibt.
1b) Jetzt nimmst du dir das Buch her; Kowalsky oder Greub. Und dann lernst du den =====> Austauschsatz von Steinitz; also vor allem, WOZU man den braucht - der Beweis kommt erst in zweiter Linie.
Ich sage ja immer, Mathematik ist kaserniertes Denken; beim Bund kriegst du gesagt, dass du überhaupt noch nie gehen und stehen konntest.
Und im ersten Semester Mathe ist es ähnlich. Wir hatten einen Assistenten, der meinte, kein Erstsemester sei in der Lage, richtig zu denken - denken gemeint jetzt in einem ganz naiven, alltäglichen Sinne.
Gerade der Steinitz veranschaulicht Wunder schön, was der Typ meint. Du gehst z.B. her und sagst, einen R4, also Raum mit vier Dimensionen, können wir uns nicht vor stellen.
Aber dabei machst du eine voll unlogische Voraussetzung. Du unterstellst, dass z.B. in unserem |R ³ jede Basis aus drei Vektoren besteht; Länge, Breite, Höhe - WOHER WEISST DU DAS?
Anschauung ’ giltet nix ’ Wenn ich jetzt sage, ich kenne eine Basis, die besteht aus 23 Vektoren und eine zweite, die besteht aus 4711 Vektoren. Klingt verrückt, gelle?
Aber bevor du überhaupt von Dimension reden kannst, ist zu zeigen: Jede Basis besteht aus GLEICH VIELEN Vektoren; natürlich hast du bis Heute dieses Problem überhaupt nicht geschnallt; voll übersehen. WEIL DU ÜBERHAUPT NICHT DENKEN KANNST; sag ich doch.
Oooh doch; Mathematik hat sehr viel zu tun mit Strafexerzieren. Gerade der Steinitz ist - bildlich gesprochen - nix anderes als ’ Gewehr über - Augen links ’
Du wenn jetzt her gehst und sagst, dass im |R ³ jede Basis drei Vektoren hat, das ist doch trivial. Dann versuch erst mal, es zu beweisen …
Der Beweis von Steinitz liegt jeden Falls vor; ein einfacheres Argument als sein Austauschverfahren ist jeden Falls bis Heute nicht bekannt geworden.
Ach und noch etwas; was mathematisches Denken aus zeichnet. Vektorraum V ist immer über Körper K. Steinitz benutzt nämlich an einer ganz entscheidenden Stelle, dass du durch einen Koeffizienten aus K auch DIVIDIEREN darfst, wenn du eine Gl. zwischen Vektoren auf lösen willst.
Stell dir mal vor, V wäre ein Modul nur über Ring R - also Division sei nicht zulässig über R. Schau dir mal den Knackpunkt an, die Schlüsselstelle, an der der Steinitzbeweis zusammen bricht, wenn du nicht mehr dividieren darfst. Z.B. ein rein ganzzahliges ’ Kristallgitter ’ würde dir diese Austauschoperation nicht erlauben; in einem solchen Modul wäre Dimension überhaupt kein invarianter Begriff …
