Hallo,
Ich schreibe übermorgen eine Klausur in linearer Algebra und es häufen sich mir die Fragen. Ich trage hier mal die aktuell am verwirrensten zusammen, mir wäre auch schon sehr geholfen, wenn ihr mir nur ein paar davon beantworten könntet.
1. Wie bestimme ich das Minimalpolynom eines Endomorphismus f?
Nach dem Satz von Caylay-Hamilton ist die zu f gehörende Matrix A Nullstelle des eigenen charakteristischen Polynoms, folglich müsste ich dieses doch irgendwie auf das Minimalpolynom reduzieren können - nur wie?
2. Sei f: V --> V ein nilpotenter Endomorphismus und W (Teilmenge von V) echter K-linearer f-invarianter Unterraum (also W ungleich V). Zeigen Sie, dann liegt W echt in f-1(W) und f-1(W) ist ein f-invarianter Unterraum.
Ok, die Aussage ist mir inhaltlich klar und erscheint mir logisch, nur weiß ich nicht, wie ichs exakt formuliere.
Dass f-1(W) ein f-invarianter Unterraum ist, ist doch schon dadurch der Fall, dass W = f(f-1(W)) echte Teilmenge von f-1(W) ist, oder?
Also nur zu zeigen: W liegt echt in f-1(W).
Wie gehe ich jetzt vor? Komme ich mit Dimensionsbetrachtungen hin?
**3. Sei f: V --> V ein K-linearer Endomorphismus mit endlicher Dimension und dem Kern W := Ker(f).
Weiter sei f’ : V’ --> V’, v+W -> f(v) + W,
der durch f auf dem Faktorraum V’ := V/W induzierte Endomorphismus.
Zeigen Sie, für j = 0,1,… gilt
Ker(f’j) = Ker(fj+1)/W.
Dabei bezeichne f’0 die identische Abbildung.**
Auch hier habe ich eine etwas zu bildliche Vorstellung, um das exakt beweisen zu können. Ich könnte jetzt meine Ansätze hier aufführen, aber das birgt die Gefahr, alle Beteiligten noch mehr zu verwirren *g*
Es scheint ja zu passen, wenn ich f’ j-mal auf v + W anwende, erhalte ich bei der ersten Anwendung f(v) + W, nach der j-ten fj(v) + W. Der Kern davon sind jetzt diejenigen, die bei der nächsten Anwendung von f’ auf fj(v) + W zu 0 + W werden, also die v, die im Kern von fj liegen, oder? (Ähm, jetz bin ich schon wieder verwirrt.)
Naja, lass ichs fürs erste dabei… Hoffe ihr könnt mir helfen.
Liebe Grüße,
Amöbe