Hallo Andre!
Gegeben ist die Matrix A = (1 1 1)
(1 2 3)
(0 1 2)
Jetzt soll zunächst das zu A gehörende characteristische
Polynom berechnet werden. Ist das jetzt ein Polynomring?
Wie willst Du denn einen ganzen Ring berechnen? Überdies heißt es ja nicht umsonst „charakteristisches Polynom“ und nicht „charakteristischer Polynomring“. Und wenn Du’s genau wissen möchtest, der Polynomring, aus dem das ch.P. stammt, liegt über demselben Körper wie die Matrix.
Die Formel fürs ch.P. wurde Dir ja schon übermittelt, und außerdem steht sie bei Wiki.
Desweiteren sollen die Eigenwerte und Eigenvektoren von A
berechnet werden. Muss hier die Berechnung der Determinante
dieser Matrix (mit Hilfe der Regel von Sarrus)erfolgen?
Die Determinante dieser Matrix nützt Dir (dafür) gar nichts. Die Eigenwerte sind die Nullstellen des ch.P., wenn Du das schon ausgerechnet hast, kannst Du die Matrix erst einmal (kurz) vergessen. Und die Eigenvektoren sind ja solche Vektoren v, die A*v=λ*v erfüllen, wobei λ ein Eigenwert ist. Dies schreibst Du also (für jeden Eigenwert extra) hin, dann hast Du ein homogenes lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen, und das kannst Du doch wohl lösen?
Die dritte Fragestellung soll prüfen, ob man mit Hilfe der
errechneten Determinante von A nachrechnen kann, ob die Matrix
A regulär ist. Muss hier die Formel für 2x2-Matrizen oder
3x3-Matrizen angewendet werden?
Wenn Du jetzt neben mir zur Nachhilfe säßest, würde ich einfach sagen: „Na, probier’s mal aus“. Es tät mich nämlich wirklich enorm interessieren, wie Du die Formel für 2x2-Matrizen auf eine Matrix mit drei Zeilen und drei Spalten anwenden willst! Ich kann mir das echt nicht vorstellen. (Lässt Du vielleicht die Zahlen a12, a23, a32, a21 gänzlich außer acht und rechnest Hauptdiagonale minus Nebendiagonale?) Wenn Du irgendwie beschreiben kannst, was Du da vorhast, wäre ich Dir durchaus dankbar, weil ich als zukünftiger Lehrer möglichst viele Verständnisprobleme voraussehen können muss oder zumindest möchte.
Liebe Grüße,
Immo