Hallo zusammen,
ich lese gerade ein Buch über die Chaos-Theorie (Applaus). Es ist da mehrfach die Rede von linearen bzw. nichtlinearen Gleichungen. Mir ist leider der Unterschied nicht klar.
Kann das mit Rückkopplungen von Variablen zusammenhängen?
Oder sind das einfach nur Gleichungen höherer Ordnung?
Da das Buch reichlich Kohle gekostet hat, wäre ich für eine Aufklärung sehr dankbar (können auch Formelbeispiele sein).
Gruß Stefan
Hi Stefan,
mathematisch bedeutet linear einfach additiv und homogen. Zur Beschreibung:
Additiv:
(verbal): Die Wirkung der Summe zweier Ursachen ist gleich der Summe der Wirkungen der Einzelursachen.
(in Formeln): f(x+y) = f(x) + f(y)
Homogen:
(verbal): Die Wirkung eines Vielfachen einer Ursache ist gleich demselben Vielfachen der Wirkung der Einzelursache.
(in Formeln): f(k*x) = k*f(x)
Die schöne Sache bei linearen Zusammenhängen ist, dass das Superpositionsprinzip gilt. Ich kann also Teillösungen für Teilprobleme ermitteln und diese zur Gesamtlösung zusammensetzen.
Ich hoffe, dies war auch für Nichtmathematiker halbwegs nachvollziehbar.
Gruß
Ted
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Aber ich hab noch nicht ganz gecheckt, was jetzt nicht-lineare Gleichungen sind, würd mich aber interessieren, ich lese nämlich auch gerade ein Buch über die Chaos-theorie (aber aus der Bücherei) wo das ständig vorkommt.
Aber ich hab noch nicht ganz gecheckt, was jetzt nicht-lineare Gleichungen sind
Wie der Name schon sagt ist jede Gleichung die nicht linear ist nicht-linear. Bei nichtlinearen Systemen, welche zum deterministischen Chaos neigen handelt es sich nicht einfach um nichtlineare Gleichungen, sondern um Systeme von nichtlinearen Differentialgleichungen (DGL). Nach obiger Logik sind das alle DGL, die nicht linear sind. Eine lineare DGL hat die Form
y’ = A0 + A1y
(Mit A0=0 wird sie sogar zur linear homogenen DGL.)
und alle DGL, welche von dieser Form abweisen sind nichtlinear.
Ein Beispiel ist die allgemeine Diffusionsgleichung:
dc d<sup>2</sup>c dc
-- = D\*--- - v<sub>x</sub>\*--
dt dx<sup>2</sup> dx
Die Differentialgleichungssysteme, welche instabile Lösungen haben sind aber etwas komplizierter aufgebaut.
Ein Beispiel sind die Navier-Stokes-Gleichungen, welche ich hier leider nicht hinschreiben kann, weil nicht genügend HTML-Tags erlaubt sind. Diese Gleichungen bilden die Grundlage der Strömungsmechanik und sind maßgeblich für das (bekanntermaßen chaotische) Wetter verantwortlich.
Ein anderes Beispiel sind die NEWTONschen Bewegungsgleichungen und das Gravitationsgesetz, mit welchem die Bewegung von Himmelskörpern beschrieben werden:
d<sup>2</sup>x M\*m
--- = g\*---
dt<sup>2</sup> x<sup>2</sup>
Sobald mehr als drei Körper im Spiel sind neigt auch dieses System zum deterministischen Chaos.
Ein Beispiel ist die allgemeine Diffusionsgleichung:
Die ist linear. Alle Ableitungen treten nur in der
ersten Potenz auf.
Ein anderes Beispiel sind die NEWTONschen Bewegungsgleichungen
und das Gravitationsgesetz, mit welchem die Bewegung von
Himmelskörpern beschrieben werden:
Die ist nichtlinear, weil x auch in einer hoeheren Potenz
als 1 vorkommt.
Sobald mehr als drei Körper im Spiel sind neigt auch dieses
System zum deterministischen Chaos.
Schon bei drei Koerpern gehts durcheinander!
MEB
ich lese gerade ein Buch über die Chaos-Theorie (Applaus). Es
ist da mehrfach die Rede von linearen bzw. nichtlinearen
Gleichungen. Mir ist leider der Unterschied nicht klar.
Kann das mit Rückkopplungen von Variablen zusammenhängen?
Oder sind das einfach nur Gleichungen höherer Ordnung?
Beide Gedanken sind O.K.
Nichtlinearitaet bedeutet grundsaetzlich, wenn Variablen
(das sind in Differentialgleichungen oftmals nicht nur Zahlen,
sondern Funktionen und ihre Ableitungen) als Potenzen verschieden
von 1 oder als Produkte auftreten.
Nicht damit gemeint sind aber Ableitungen höherer Ordnung. Eine
Differentialgleichung zweiter Ordnung kann durchaus linear sein,
genau dann wenn alle Ableitungen (also auch die nullte) nur
Exponenten 1 haben. Bsp. sind Schwingungsgleichungen.
Rueckkopplungen sind ein guter Gedanke.
Nehmen wir z.B. mal die Feldgleichungen der allgemeinen
Relativitaetstheorie (die schreibe ich jetzt nicht hin).
Diese sind nichtlinear und zwar aus folgendem Grund:
Die Quelle eines Gravitationsfeldes ist die Masse bzw. Energie
(Masse und Energie sind in der Relativitaetstheorie sowieso
ein und das selbe). Durch eine Masse (z.B. die Sonne) wird also
ein Gravitationsfeld erzeugt. Dieses Feld besitzt Energie (es
kann Planeten bewegen). Energie wiederum erzeugt wieder ein
Gravitationsfeld, verstaerkt also das vorhandene. Hier hast Du
Deine Rueckkopplung.
MEB
Die ist linear. Alle Ableitungen treten nur in der
ersten Potenz auf.
Du hast natürlich Recht! Es ist eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung.
Danke für die Info. Hat geholfen! O.T.
o.T.