Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit der Linearen Optimierung.
Dazu habe ich eine Aufgabe, deren folgenden Nebenbedingungen gegeben sind:
\left{\begin{matrix}4x-2y \leq 8\ -2x+2y \leq 4\ x \leq4\ x,y \geq 0\end{matrix}\right.
Hierzu habe ich schon einmal (etwas ungenau, da in Paint erstellt *g) die Geraden in ein Koodinatensystem gezeichnet: http://i48.tinypic.com/286vi42.png
Nun habe ich aber noch die folgenden Teilaufgaben zu lösen
a) Skizzieren Sie bitte im obigen Koodinatensystem die optimate Menge bezüglich der Maximierung der Zielfunktion
f:\mathbb{R}^{2}\ni (x,y) \mapsto f(x,y):=2x\in \mathbb{R}
b) Skizzieren Sie bitte…
g:\mathbb{R}^{2}\ni (x,y) \mapsto g(x,y):=-2x+y\in \mathbb{R}
Leider habe auch nach mehreren Versuchen nicht rausgefunden wie ich die Aufgaben angehen soll.
Nun habe ich aber noch die folgenden Teilaufgaben zu lösen
a) Skizzieren Sie bitte im obigen Koodinatensystem die
optimate Menge bezüglich der Maximierung der Zielfunktion
f:\mathbb{R}^{2}\ni (x,y) \mapsto
f(x,y):=2x\in \mathbb{R}
Hallo,
zeichne die Zielfunktion (y=2x) einfach mit dazu, dann siehst du, dasss x nicht beliebig groß sein kann, weil du sonst irgendwann den Zulässigkeitsbereich verlässt. Um rauszufinden welches der maximale zulässige x-Wert ist, rechne aus wo die Zielfunktion die Nebenbedingung schneidet die dafür sorgt, dass der Zulässigkeitsbereich endet.
b) Skizzieren Sie bitte…
g:\mathbb{R}^{2}\ni (x,y) \mapsto
g(x,y):=-2x+y\in \mathbb{R}
Da musst du sogenannte Niveaulinien zeichnen, das sind die Mengen auf denen g konstant ist.
Wenn g z.B. konstant 1 ist, hast 1=-2x+y, also y=2x+1. Das ist eine Niveaulinie, die kannst du einzeichnen. Genauso wenn g konstant 2 oder 3 oder anderes ist.
Allgemein hat die Niveaulinie auf der g konstant c ist die Form
y=2x+c, das ist eine Gerade mit Steigung 2 und y-Achsenabschnitt c. Die Frage ist jetzt: Wie groß kann c maximal werden so, dass es noch einen zulässigen Punkt gibt ?
Oder geometrisch: Wie hoch kann ich die Gerade y=2x schieben so, dass es noch einen Schnittpunkt mit dem Zulässigkeitsbereich gibt ?
Schränkt die Gerade f die optimale Lösung NICHT ein weil
Sie x=4 erst viel höher schneidet?
Die Bedingung lautete ja x≤4, d.h. bezüglich dieser Beschränkung sind alle Punkte links von x=4 zulässig, insbesondere auch der Schnittpunkt von f mit der Geraden durch (0|2) und (4|5).
Man nennt die Bedingung x≤4 in diesem Punkt inaktiv, während die Bedingung -2x+2y≤4 aktiv (mit Gleichheit erfüllt) ist.
limitiert meine eingezeichnete Gerade W (hat nichts mit der
Aufgabenstellung zu tun) die optimale Lösung auf (4|5)?
Wenn nicht f sondern w deine Zielfunktion wäre, dann wäre die optimale Lösung bei (4|5) richtig.
