Hallo
Bei einer aktuellen Übungsaufgabe soll man zeigen, dass ein linearer Operator in einem zweidimensionalen Hilbertraum stets über die Pauli Spin Matrizen dargestellt werden kann: A = \sum _0^3 c_j \sigma_j
Ich hab das jetzt einfach ausgerechnet aber irgendwie weiß ich nicht, wie ich jetzt argumentieren muss, das man jeden linearen operator so zerlegen kann.
Ich hab auch für diese 2x2 Matrix gezeigt, dass sie linear ist und wann er Opearot hermitsch ist weiß ich auch (wenn c nicht element C sondern R ist).
Kann mir jemand einen Tipp geben?
Mfg
Rainer
Hallo,
Bei einer aktuellen Übungsaufgabe soll man zeigen, dass ein
linearer Operator in einem zweidimensionalen Hilbertraum stets
über die Pauli Spin Matrizen dargestellt werden kann: A = \sum
_0^3 c_j \sigma_j
Ich hab das jetzt einfach ausgerechnet aber irgendwie weiß ich
nicht, wie ich jetzt argumentieren muss, das man jeden
linearen operator so zerlegen kann.
Das geht genau dann mit jedem linearen Operator, wenn die Pauli-Matrizen eine Basis der linearen, hermitischen Operatoren sind.
Jetzt kannst du dir überlegen, dass eine Basis der Operatorn in einem 2x2-Hilbertraum 4 Elemente haben muss, durch die Forderung, dass sie hermitisch sind (a12 = a21*) fliegt eine Dimension raus, also haben die linearen, hermitischen Operatoren eine Basis aus drei Elementen.
Wenn jetzt die drei Pauli-Matrizen linear unabhängig sind (was du zeigen musst), dann bilden sie auch gleichzeitig eine Basis.
Ich hab auch für diese 2x2 Matrix gezeigt, dass sie linear ist
und wann er Opearot hermitsch ist weiß ich auch (wenn c nicht
element C sondern R ist).
Ich weiss nicht, was du mit c meinst, aber die Definition von hermitztät ist, dass das komplex konjugierte und transponierte der Matrix sie selbst ist, also allgemein a_ij = a_ji^*.
HTH,
Moritz