Hallo Markus,
das mit dem ersten Ergebnis stimmt schoo. Es geht um
Eigenvektoren.
Nein, es geht lediglich um die Lösung eines linearen Gleichungssystems. Der Begriff Eigenvektor ist hier fehl am Platz.
Der gefundene XEXiXgXeXnX _Lösungs_vektor hätte demnach die
allgemeine Form
u = ( x, y, (y-x)/2 ) ________[*]
Ja, aber sprachlich genauer wäre es, wenn Du nicht „Der gefundene Lösungsvektor“ schreiben würdest, sondern „Damit ist die Lösungs_menge_ des LGS bestimmt; sie hat folgende Form: …“. Dein Gleichungssystem hat nämlich unendlich viele Lösungen. Du kannst Dir zwei x-beliebige Zahlen x und y ausdenken (z. B. x = 568 und y = -382) und schwupps hast Du auch schon einen Vektor, der Dein LGS löst: (568, -382, -475). Den kannst Du dann in ein 3D-Koordinatensystem eintragen. Mit anderen Werten für x und y wiederholst Du das. Solange, bis Du Dich fragst, was wohl passiert, wenn Du Dir wirklich _ganz viele_ Werte für x und y ausdenkst (z. B. x und y laufen jeweils von -10000 bis +10000 in 0.01er-Schritten), und alle Vektoren, die Du gemäß ( x, y, (y-x)/2 ) erhälst, in dasselbe 3D-Koordinatensystem einträgst. Was bilden die Punkte am Schluß? Antwort: Sie bilden eine _Ebene_, die in dem 3D-Koordinatensystem „schwebt“, irgendwie schief zu den Achsen. Das war übrigens von vornherein klar, denn die Dimension Deines LGSs ist ja 3, aber sein Rang bloß 1. Die Differenz von 2 ist gleich der Dimension der Lösungsmenge, und 2 Dimensionen entspricht einer Ebene.
So weit so gut. Aber kommen wir doch noch mal auf das „Du kannst Dir zwei x-beliebige Zahlen x und y ausdenken…“ zurück. Wie oben erläutert kannst Du x den Wert 568 geben und y den Wert -382. Findest Du den y-Wert doof – kein Problem: ändere ihn eben in 4.75 um. Die Formel [*] spuckt Dir dann zwar einen anderen Vektor aus, aber welchen y-Wert auch immer Du nimmst, er wird Dein LGS lösen. Aber hallo: „Welchen y-Wert auch immer Du nimmst???“ Was passiert denn dann, wenn Du „ganz crazy“ bist und y = -x nimmst, oder y = 5 x - 18??? Geht das überhaupt? Antwort: (Dickes) Ja! Auch diese Vektoren sind Lösungen Deines LGS. Aber irgendeinen Haken muß es doch dabei geben? Antwort: Den gibt’s. Wenn Du y durchlaufen läßt (-10000 bis +10000) und stets y = -x nimmst, schränkst Du die Lösungsmenge ein, weil Du eine zusätzliche Bedingung geschaffen hast. Es gibt jetzt nur noch einen Parameter (das x), wo es vorher zwei gab (x und y). Damit setzt Du die Dimension des Gebildes, das Du erhälst, wenn Du für „alle“ x die Vektoren (x, -x, (-x-x)/2) in das 3D-Koordinatensystem einträgst, um Eins herunter, und das heißt nichts anderes, als daß Du eine Gerade herausbekommst, die in der Lösungsmengen-Ebene liegt. Alle Punkte auf der Geraden liegen automatisch auch in der Ebene und sind damit Lösungen des LGS, aber es sind eben nicht mehr alle Lösungen, sondern nur noch ein Teil (alle Punkte, die in der Ebene, aber nicht auf der Geraden liegen, erfüllen das LGS, aber nicht „y = -x“).
Nimmst Du nicht y = -x, sonder y = 5 x - 18 bekommst Du eine andere Gerade. Du bekommst immer eine Gerade, sofern das y von dem x _linear_ abhängt. Wenn Du aber so verrückt bist und für die Ypsilons z. B. y = 2 x² - 3 x + 1 nimmst, dann bekommst Du keine Gerade mehr, sondern eine in der Lösungsmengen-Ebene liegende Parabel (für y = 1/x eine Hyperbel usw.). Damit würdest Du dann allerdings auch die lineare Algebra verlassen.
Auf dieses Ergebnis sind auch die meisten meiner Kommilitonen
gekommen. Dennoch ist auch das andere Ergebnis mit u = ( x,
-x, -x ) absolut passend. Setze mal -x für y
Ist es klargeworden? Zur Verdeutlichung noch ein ganz einfaches Analogon:
G = {2 n | n ganze Zahl}
ist die Menge aller _geraden_ Zahlen. Du kannst für n einsetzen, was immer Du willst, solange es eine ganze Zahl ist. Auch n = 135 t (t ganze Zahl) ist erlaubt, denn 135 t ist für alle ganzen t eine ganze Zahl. Was Du Dir damit einhandelst, ist der Umstand, daß G bei der Wahl „n = 135 t“ nicht mehr _alle_ ganzen Zahlen umfaßt.
Mit freundlichem Gruß
Martin
))